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臺中市私立新民高中附設國中 114學年 模擬考 數學

195 題，其中 195 題已有解答。

  1. 01已知小育在空腹時吃下一塊蛋糕後,其血糖值 y (mg/dL) 與經過的時間 x ( 小時 ) 之關係為 y  f ( x)  40 x 2  120 x  90 ,其中 0  x  3.2 ,則下列敘述何者錯誤?解答：小育在吃完蛋糕後血糖值最高為 270 mg/dL
  2. 02常用的坡度計算方式為「坡度   100% 」,若阿達在一個坡度為 22.5%的直線坡道上 水平距離 前進了 82 公尺,則他爬升的高度為多少公尺?解答：18
  3. 03在平面地圖上,有一條直線道路為 x  y  1  0 ,已知兩城市分別位在點 A(1 , 4) 和 B (3 , 0) ,若 在該直線道路上有一個到兩城市皆等距離的車站,且此車站位在點 (a , b) ,則 a  b 之值為何?解答：1
  4. 04同時滿足一元一次不等式 2 x  1   4 和   1 的整數 x 值共有多少個? 2 4 3解答：9
  5. 05坐標平面上,已知 ABC 的三頂點為 A(5 , 3) 、 B (1 , 5)、C (3 ,  3) ,則 AB 邊上的中線長度為何?解答：8
  6. 06已知 f ( x) 為二次多項式,若 f (1)  f (2)  2 ,且 f (3)  6 ,則 f (4) 之值為何?解答：10
  7. 07坐標平面上,設直線 L 通過原點 O ,且 P(3 ,  2) 、 Q (1 ,  1) 兩點在直線 L 之不同側,則下列何 者可能為直線 L 的方程式?解答：2 x  y  0
  8. 08已知一個高麗菜園每行種植的顆數為行數的 3 倍再少 10 顆,若每行種植 x 顆高麗菜,則此菜 園共有幾顆高麗菜? ( x  10)解答：3
  9. 09如圖(一)所示,有一塊半徑 20 公尺,圓心角 120°的扇形土地,地主將 圓心附近半徑 5 公尺的扇形區域作為工作室,其他則種植花卉當景觀花 園,則此花園的面積為多少平方公尺?解答：130
  10. 10已知一元二次方程式 x 2  5 x  3  0 的兩根為  、  ,若以  2 與  2 為兩根的一元二次方程式為 x 2  mx  n  0 ,則 m  n 之值為何?解答：22
  11. 11如圖(六)所示,小統牽著兩隻狗出門散步,這兩隻狗各自發現牠 們前進的方向有食物,同時往前拉緊牽繩,大狗拉力 4 公斤重, 小狗拉力 2 公斤重。若這兩隻狗的牽繩形成一個 60°的夾角,則 小統至少要出多少公斤重的力量才能同時拉住這兩隻狗?解答：2 3 圖(六)
  12. 12已知一無人機運送貨物時,在控制中心的平面地圖坐標上以速度  (3 , 1) 直線前進,若此時無 人機收到指令要「左轉 90 度」並保持同樣速率前進,則左轉後的速度可用下列哪一個向量表 示?解答：(1 , 3)
  13. 13某餐廳有主菜 3 種、小菜 5 種、湯品 4 種、飲料 3 種,若一個套餐中主菜必選 1 種,小菜必選 2 種,而湯品與飲料共 7 種之中最多選 1 種或皆不選,則共有幾種不同的套餐組合?解答：240
  14. 14已知某細菌數量每小時變為 2 倍,若某日上午 8 時整的細菌數量為 6400 隻,求同日上午 4 時 整的細菌有多少隻?解答：160
  15. 15設 a 、 b 為實數,若 f ( x)  x3  ax 2  bx  6 可被 x 2  5 x  6 整除,則 a  b 之值為何?解答：7
  16. 16坐 標 平 面 上 , 已 知 雙 曲 線 9 x 2  16 y 2  144 的 兩 焦 點 為 F1 、 F2 , 若 點 P 在 雙 曲 線 上 且 PF1  10  PF2 ,則 PF2 之長為何?解答：16
  17. 17小鎬是一家咖啡廳的外送員。他使用一個簡單的坐標系統來規劃送餐路線,其中咖啡廳位於坐 標(3 , 4),客戶 A 位於坐標(11 , 19),已知每單位長代表 1 公里。小鎬從咖啡廳出發,要送餐給 客戶 A ,則他需要騎行多少公里的直線距離?解答：17
  18. 18坐標平面上,若一直線與 x 軸垂直,且通過點 ( 8 , 1) ,則此直線方程式為何?解答：y  x  9
  19. 19坐標平面上,若直線 L1:6 x  ay  4  0 與直線 L2 :2 x  3 y  5  0 互相垂直,則 a 之值為何?解答：3
  20. 20工程師小賢想要測量一棟新建大樓的高度,但他無法直接爬上去測量,於是他站在離大樓底部 水平距離 100 公尺遠的地方,再使用傾角儀測得大樓頂端的仰角為 32°,則此新建大樓的高度 大約為多少公尺?(已知 sin 32  0.5299 、 cos 32  0.8480 、 tan 32  0.6249 )解答：53
  21. 21小成計畫從火車站去超市,他打開了手機地圖來導航。地圖上顯示一個以火車站為原點的直角 坐標系,超市在火車站北方 3 單位處。一條筆直的馬路通過火車站,其方程式為 y  2 x 。小 成要在地圖上畫出另一條近似二次函數 y  f ( x) 的彎曲路線。若此彎曲路線會經過超市,且與 馬路相交,則下列哪一個函數可滿足以上條件?解答：y  x 2  2 x  3
  22. 22在坐標平面上,點 P ( , tan 2026  cot115) 在第幾象限? cos 2026解答：二
  23. 23試問使 log 2 x 1 (3 x 2  7 x  6) 有意義的整數 x 有多少個?解答：2
  24. 24在棒球比賽中,投手是靈魂人物,掌握得勝先機。若目前投手有四種投球姿勢 分別是四分之三投球、上肩投球、側投球、下勾投球,而每種投球姿勢投出的 球又分快速球、變化球、變速球三大球種,加上投球時有九個不同區域的好球 帶可挑選,如圖(一)所示,則可能投出多少種不同的好球?解答：48
  25. 25已知雙曲線方程式為 ( x  4) 2  ( y  2) 2  ( x  6) 2  ( y  2) 2  8 ,則雙曲線的共軛軸長為何?解答：4
  26. 26在坐標平面上,線型函數 f ( x)  2 x  1 的圖形通過 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) 兩點,若 | x1  x2 |  3 , 則 AB 之長為何?解答：3 5
  27. 27平面上有四條直線 L1 、 L2 、 L3 、 L4 ,其中 L1 、 L2 的方程式分別為 2 x  3 y  1  0 和 x  y 3, 3 L3 通過點(1 , 2)和(3 , 5), L4 的 x 、 y 截距分別為 2 和 1 ,則哪一條直線的斜率最小?解答：L4
  28. 28設 a 、 b 皆為實數, 已知 坐標平 面上直線 ax  by  c  0 通過第二、 三、四象限 , 則直線 ax  by  c  0 不通過哪一個象限?解答：第四象限
  29. 29將多項式 ( x 3  2 x  1) 2 ( x 2  x  2) 展開並合併同類項後,其 x 2 項係數為何?解答：13
  30. 30利用綜合除法求 99 4  100  993  97  99 2  200  99  199 之值為何?解答：1
  31. 31下列哪一個數是 20253  1 的因數?解答：1012
  32. 32已知一等比級數共有 10 項,且其公比為 2、末項為 1024,則此等比級數之和為何?解答：2046
  33. 33在觀測點 O 的北方 A 點處有一艘船向東直線航行,經過一段時間後,船的位置在 O 點的北 30° 東,再航行 10 公里後,船在 O 點的東 30°北,則 OA 為多少公里?解答：5 3
  34. 34設一圓方程式為 2 x 2  2 y 2  2 x  4 y  10  0,若其圓心為 (h , k ),半徑為 r,則 h  k  r 之值為何?解答：2 3
  35. 35在坐標平面上有一圓 ( x  2) 2  ( y  1) 2  5,則此圓上有多少個點到直線 x  5 之距離為整數?(已 知 5  2.236 )解答：10
  36. 36在坐標平面上,已知一圓與 x 軸、 y 軸皆相切,且圓心在直線 x  y  10  0 上,則此圓的半徑 為何?解答：5
  37. 37已知一等差級數共有 20 項,且其公差為 2、末項為 49,則此等差級數之和為何?解答：600
  38. 38現代風力發電機為了在發電效率、成本、結構穩定與噪音控制達到最佳平衡,大多採用三個葉 片設計,任意兩個葉片之間的夾角皆為 120°,已知將一風力發電機的旋轉面置於坐標平面上 時,其轉軸在原點,且其中一葉片的尖端在點 A(2 3 , 2) 的位置,若此時其餘兩葉片的尖端分 別在 B ( a , b) 、 C (c , d ) 兩點,則 a  b  c  d 之值為何?解答：2  2 3
  39. 39已知一等差級數共有 14 項,若前兩項的和為 7,最後兩項的和為 63,則此等差級數之和為何?解答：245
  40. 40已知 a 、 b 為實數,若一元二次不等式 x 2  ax  b  0 與絕對值不等式 | x  1|  2 有相同的解,則 a  b 之值為何?解答：5
  41. 41設 k 為實數,已知坐標平面上一直線 L:2 x  ky  1  0 和 A( 2 , 1) 、 B (6 ,  2) 兩點,若 AB 與直 線 L 不相交,則所有 k 值的範圍為何? 3解答：5  k  2
  42. 42已知某樂團演唱會場地的站立搖滾區為一弓形區域,如圖(一)所示, AB  20 3 公尺, 為圓心角 120°對應的弧,若以 1 平方公尺可站立 3 人來估算,則此搖滾區約可容納多少人?(已知   3.14 、 3  1.73 )解答：737 【
  43. 43坐標平面上,若直線 L:4 x  3 y  13  0 與圓 C :( x  1) 2  ( y  1) 2  25 交於 P 、Q 兩點,則 PQ 之 長為何?解答：10
  44. 44有一等差數列共有 35 項,已知第 17 項為 20、第 19 項為 24,則此等差數列之總和為何?解答：1440
  45. 45已知 a  4 27 、 b  9 3 、 c  815 ,則 a 、 b 、 c 三數之大小關係為何?解答：a  b  c
  46. 46從 0、1、2、3、4、5 這六個數字中,任選三個組成三位數,若數字不可重複使用,則共可組 成多少個不同的偶數?解答：52
  47. 47在數線上,若點 P( x) 與點 Q (3) 的距離不大於 5,且與點 R(2) 的距離大於 3,則符合上述兩條件 且 x 為整數者共有多少個?解答：4
  48. 48若以 x 2  x  6 除多項式 f ( x) 與 g ( x) ,分別得餘式 3 x  2 與 x  5 ,則以 x  3 除 2 f ( x)  g ( x) 所得 餘式為何?解答：3
  49. 49求 cos10  cos 20  cos30    cos160  cos170 之值為何?解答：8
  50. 50坐標平面上,如圖(一)所示,已知二元一次聯立不等式  bx  2 y  d 的圖形為深色區域,則下列何者為負數?解答：d log 2 1
  51. 51求 3 4 log3 2 log 2 3 5 log5 6 log 2 6 之值為何?解答：10
  52. 52小宇從數線上的原點出發,擲一顆公正骰子決定前進的方式,若為偶數點,則沿數線正向前進 1 單位,若為奇數點,則沿數線往負向前進 1 單位,今投擲 6 次後,小宇在數線上 4 的位置, 則投擲點數的順序情況有幾種可能?解答：36
  53. 53某數學考試,全班成績的平均為 48 分,標準差為 12 分,老師認為有必要調整一下分數,於是 使用線型函數 y  ax  b 之方式進行調分,其中 a  0 , x 為原來成績,而 y 為調整後之成績, 結果調整後全班成績的平均為 60 分,標準差為 9 分,若小平原本成績為 36 分,則經過調整後 的成績為多少分?解答：45
  54. 54設 a 、b 為實數且 a  0 ,已知在 1  x  2 的範圍內,二次函數 f ( x)  a( x  1) 2  b 的最大值為 3、 最小值為 5 ,則 a  b 之值為何?解答：5
  55. 55飛鏢運動一直以來都是十分受歡迎的運動,其計分方式由飛鏢的落點區域 決定。如圖(二)所示,已知小明射出一鏢落在灰色區域,若將靶繪於坐標 平面上,其圓心定於原點(0 , 0),而三個圓的半徑分別為 1 單位、2 單位、 3 單位,則下列四點何者可能是小明飛鏢的落點?解答：(0 , 4) 圖(二)
  56. 56某次國家考試需要考國文、英文、數學、自然、社會共五科,已知考試時間從星期六下午開始, 一直到星期日下午結束,其中星期六下午考兩科,星期日早上考兩科,而星期日下午考一科, 若要求數學與自然不能在同一天考試,則這五科考試順序有幾種可能?解答：48
  57. 57天 文 學 家 以 織 女 星 的 亮 度 I 0 為 標 準 , 而 被 觀 察 的 星 星 亮 度 為 I , 將 其 星 等 ( m ) 定 義 為 5 I 1 m   log( ) ,已知天狼星的星等為 1.4 ,而另一顆恆星的亮度為天狼星的 倍,則此恆 2 I0 100 星的星等為何?解答：3.6 【
  58. 58某市教育局邀請同一學區內的六間國小主任們來開招生協調會,其中招生人數最多的甲校派出 兩位主任,其他五校各派出一位主任與會。若會中有三位主任發言,則這三位主任來自於三間 不同國小之可能情況有幾種?解答：30
  59. 59已知平面上有一向量  (4 , 3) ,若向量 與 方向相反,且向量 長度為向量 的 3 倍,則 向量 為何?解答：(9 , 12)
  60. 60已知兩條直線 L1:2 x  y  5  0 、 L2 : x  y  1  0 將坐標平面分成四個區域,則點 A( 4 , 3) 所在 區域可用哪一組不等式表示? 2 x  y  5  0解答：  x  y 1  0 2 x  y  5  0
  61. 61已知 a 、b 、c 、 d 為實數,若多項式 x 3  x 2  8 x  5  a ( x  1)3  b( x  1) 2  c( x  1)  d ,則 a  b  c 之值為何?解答：9
  62. 62小全在方格紙上建立一個平面坐標系,並在此平面上畫出一個二次函數 f ( x ) 的圖形,若圖形的 最低點坐標為 (1 , 2) ,且通過點 ( 2 , 5) ,則 f (1) 之值為何?解答：12
  63. 63已知某校有學生 600 名參加數學競試,考試成績近似常 態分配,如圖 ( 二 ) 所示,若考試成績的平均分數為 65 分,標準差為 5 分,則考試成績不及格的人數最接近下 列何者?解答：80 圖(二)
  64. 64投擲兩顆公正骰子一次,則點數和為質數的機率為何? 25解答：18 5
  65. 65如圖(四)所示,直線 L1 、 L2 、 L3 、 L4 的斜率分別為 m1 、 m2 、 m3 、 m4 ,則下列敘述何者正確?解答：m4  m1
  66. 66下列何者的答案是 35 ?解答：3 個人任意搭乘 5 臺計程車的方法有幾種?
  67. 67臺灣股市規定當日股票的交易成交價格需在前一個交易日收盤價的漲 10%與跌 10%之間。若有 一支股票上週五收盤價為 100 元,本週一、二都是跌停板收盤(也就是每天跌 10%),但接下來週 三到週五這三天都是漲停板收盤(也就是每天漲 10%),則本週五收盤價應為下列哪一個選項?解答：100  0.92  1.13
  68. 68如圖(五)所示,小樺自 A 點測得旗桿 BC 頂端 B 點之仰角為 60°, 接著沿 15°的斜坡前進 10 6 公尺到達 D 點,從 D 點測得旗桿頂端 B 點之仰角為 30°,則旗桿之高度 BC 為多少公尺?解答：30
  69. 69已知一靜止物體從高處自由落下的距離 S (公尺)與時間 t (秒)之關係滿足二次函數 S  f (t )  gt , 2 其中 g 為地表的重力加速度,其量值為 9.8 公尺/秒 2 。今小明自瀑布旁將一靜止的小石頭釋放, 1 使其自由落下,若第 1 秒內落下的距離為著地前 1 秒內落下的距離之 ,則小石頭釋放後經過 9 幾秒著地?解答：3
  70. 70如圖(八)所示,小測在山 AD 的正南方 B 點測得山頂 A 點的仰角 為 30°,接著小測直線前進 1200 公尺到山的正東方 C 點,在 C 點測得山頂 A 點的仰角為 45°,則山的高度為多少公尺?解答：600
  71. 71某人的儲蓄計畫為:「第一個月存 1000 元,之後每個月都比前一個月多存 200 元」,則此計畫 執行一年後,儲蓄總額為多少元?解答：27600
  72. 72空間中,已知兩向量  (1 , 2 , 2) 、  (2 , 1 ,  1) ,則 在 上的正射影長為何? 2解答：3 5 3 5 3
  73. 73化簡  可得下列哪一個選項之值? 5 3 5 3解答：2
  74. 74已知  為銳角,若 sin   cos   ,則 tan   cot  之值為何? 5 25解答：12 8
  75. 75某人在 A 點測量山頂的仰角為 30°,往山的方向直線前進 300 公尺到達 B 點後,山頂的仰角為 45°,則他再繼續沿同方向直線前進多少公尺後,測量山頂的仰角會變為 60°?解答：100 3
  76. 76某電力公司使用交流電,其電壓相量可用複數表示,工程師量得兩個電壓源在某一頻率下的相 量分別為電壓源 A : 3(cos 0  i sin 0) 伏特,電壓源 B : 4(cos 270  i sin 270) 伏特,若這兩電 壓源可視為理想電壓源,當這兩個電壓源串聯時,其總電壓的相量為兩相量之和,則總電壓的 大小(絕對值)為多少伏特?解答：5
  77. 77等比數列  an  中,已知各項皆為正數,若 a2  a3  6 、 a6  a7  96 ,則 a4  a5 之值為何?解答：36
  78. 78將「 success 」的 7 個字母重新排列,且三個 s 中兩兩皆不相鄰的排法有多少種?解答：120
  79. 79在坐標平面上,已知直線 L : y  2 x  k 與圓 C : ( x  1) 2  ( y  1) 2  5 相切,且圓 C 的圓心在 L 直 線的右半平面,則 k 之值為何?解答：2
  80. 80某廣場中心新建了一座圓形蓄水池,為了方便設計與施工,工程師把廣場以平面坐標表示(每 一單位長代表一公尺),此時蓄水池的外緣池壁可用圓 C : x 2  y 2  4 來描述,而廣場一側的筆 直連續擋土牆為 L : 3 x  4 y  25  0 ,為了監測因地震而產生的相對位移,工程師要在蓄水池 池壁上標記一些「檢查點」,並記錄每個檢查點到擋土牆的距離,若為了方便記錄與比較,這 些檢查點到擋土牆的距離皆為整數公尺,則最多能有多少個檢查點?解答：12
  81. 81某錄音室需要安裝雙層隔音板,外層保護板材厚度為 x 公分,內層吸音板材厚度為 y 公分,實 驗數據顯示隔音效果正比於 xy 之值,即 xy 之值越大,隔音效果越好,為達到規定的隔音等級, 至少要有 xy  16 的標準,則在此標準下,整體厚度 x  y 最薄為多少公分?解答：5
  82. 82已知方程組  2 x  3 y  2 z  9 有無限多組解,則 k 之值為何? 3 x  4 y  kz  13 解答：0
  83. 83已知空間中三點 A(1 , 2 , 3) 、 B (2 , 4 , 1) 、 C (3 , 5 , k ) 構成一個三角形區域的三頂點,若此三角形 的面積為 3 2 ,則實數 k 的可能值有多少個?解答：4
  84. 84某家具工廠生產桌子和椅子,已知其所需木材、工時及所得利潤如表(一)所示,若現有木材 21 片,且工時不超過 21 小時,則在適當分配桌子與椅子的生產數量下,能獲得的最大利潤為多 少元? 表( 一) 木材(片/個) 工時(小時/個) 利潤(元/個) 桌子(個) 2 3 500 椅子(個) 3 1 300解答：2700
  85. 85坐標平面上,已知橢圓   1 的兩焦點為 F1 、 F2 ,若點 P 在橢圓上且 F1 PF2  90 ,則 25 9 PF1 F2 面積之值為何?解答：9
  86. 86坐標平面上,已知曲線 y  x 3  3 x 2  4 ,則其切線斜率最小時的切線方程式為何?解答：y  4 x  3
  87. 87觀 測 某 直 線 移 動 的 物 體 , 在 3 小 時 內 其 速 度 y ( 公 尺 / 小 時 ) 與 時 間 x ( 小 時 ) 的 關 係 為 y   x 2  10 x  9 , 0  x  3 ,則這 3 小時中該物體的位移為多少公尺?解答：69 【
  88. 88坐標平面上,若二次函數 f ( x)  3 x 2  ax  b 圖形的頂點坐標為(2 , 0),則一元二次不等式 ax 2  b  0 的解為何?解答：1  x  1
  89. 89海軍在進行海上通訊演習時,使用不同顏色的旗幟來組合訊號。他們目前有 3 面紅色旗幟、2 面白色旗幟、1 面藍色旗幟,他們需要將這些旗幟全部懸掛在旗杆上,形成一個由 6 面旗幟組 成的垂直序列,不同的垂直排列代表不同的訊號。如果將所有 6 面旗幟(3 紅、2 白、1 藍)懸掛 在旗杆上,則可以組成多少種不同的訊號(即不同的排列方式)?解答：30
  90. 90若多項式 f ( x )  2 x3  kx 2  3 x  1 除以 x  1 的餘式為 3 ,則 k 之值為何?解答：8
  91. 91小訓在遊樂園搭乘一個巨大的摩天輪。此摩天輪的半徑為 28 公尺,且中心點離地面 30 公尺。 摩天輪以等速逆時針旋轉,轉動一圈需要 6 分鐘。小訓從地面最低點開始計時,將所在車廂的  高度 h (公尺)與旋轉時間 t (分鐘)的關係式用三角函數 h  28cos( t )  30 來描述。若小訓想在 3 車廂高度達到 44 公尺時拍照,則從地面最低點開始計時,他最少需要等待多少分鐘?解答：5
  92. 92sin 210  cos( 240) 之值為何?解答：0.5
  93. 93某城市規劃師正在設計一個新的水舞廣場。廣場的中央有一個大型圓形噴水池,其邊緣可視為 一個完美的圓。在坐標平面上,這個圓形噴水池的圓心位於點 (1 , 2) 。為了在夜晚營造燈光效 果,工程師在噴水池的圓周上點 A(8 , 1) ,安裝了一盞特殊的探照燈,若此圓形噴水池的圓周方 程式為 x 2  y 2  dx  ey  f  0 ,則 d  e  f 之值為何?解答：79
  94. 94在坐標平面上,已知圓的方程式為 ( x  1) 2  ( y  3) 2  25 及點 P (3 ,  4),則 P 點與圓的關係為何?解答：點在圓內
  95. 95已知某等差級數的前 15 項和為 60,則此級數的第 8 項為何?解答：2
  96. 96設 m 、 n 皆為正數,若數列 2、 m 、18、 n 的前三數為等比數列,後三數為等差數列,則 n  m 之值為何?解答：24
  97. 97小丁家裡有一套智慧家庭系統,可以自動計算各種電器的用電量。系統會根據電器使用的時間 和功率來估算電費。假設每度電的費用是 3.5 元。小丁家中有兩樣主要的電器: 冷氣:每天使用 x 小時,每小時的耗電量是 1.5 度 冰箱:每天使用 24 小時,每小時的耗電量是 0.1 度 小丁設定了一個節能目標,希望將單月(假設 30 天)兩樣主要電器的總電費控制在不超過 600 元,則滿足以上條件之 x 的最大值最接近下列何數?解答：2.2
  98. 98若 x 與 y 滿足聯立不等式  x  y  5 ,則 f ( x , y )  3 x  y 的最小值為何? 0  y  4 解答：5
  99. 99已知坐標平面上兩相異直線 L1:3 x  5 y  c1  0 、 L2 :2 x  3 y  c2  0 , 3 x  5 y  c1  0 如圖(一)所示,則下列哪一個點在聯立不等式  的區域內?  2 x  3 y  c2  0解答：B
  100. 100log 0.1 10  log 5 0.2 之值為何? 圖(一)解答：10.2
  101. 101已知 log 3  0.4771 ,則 log 3000 之值為何?解答：3.4771
  102. 102若  3x ,則 x 之值為何? 81解答：8
  103. 103某城市爆發了一種新型傳染病。研究人員發現,在疫情爆發初期,感染人數的增長速度符合一 個指數模型: 假設從第 1 天開始,感染人數 N 與天數 t 的關係可以近似函數: N (t )  N 0  2 kt ,其中 N 0 是最初 的感染人數; k 是一個常數。 在疫情爆發初期,研究人員觀察到,在第 1 天時,感染人數達到了 4000 人;在第 3 天時,感 染人數達到了 16000 人。若利用以上的數據,則此函數中的 k 之值為何?解答：2
  104. 104甲、乙、丙、丁、戊、己六人排成一列,則甲、乙、丙三人完全分開的排列方法共有多少種?解答：36
  105. 105某慈善機構舉辦了一場晚會,並準備一個特別的抽獎環節。主辦單位提供了 10 本不同的書, 以及 5 張不同的電影票作為獎品。現場抽出一位中獎者可以從中任意挑選 3 本書和 2 張電影票, 則獎品的組合方式共有多少種?解答：1200
  106. 106一家新創公司有 8 位員工,分別是 5 位軟體工程師和 3 位設計師。公司接到一個新的專案,需 要成立一個 4 人小組來完成。專案負責人要求這個小組的組成必須同時滿足以下兩個條件: 小組中至少有一位設計師;小組中必須有一位組長,且組長只能由軟體工程師擔任,則專案 小組的組成方式共有多少種?解答：155 【
  107. 107已知實係數多項式函數 f ( x )  ax115  bx 4  3 除以 x  1 餘 6,除以 x  1 餘 8 ,則組合數 Cba 之值為 何?解答：35
  108. 108已知一人造衛星繞地球旋轉是橢圓軌道,地球所在位置為該軌道的一焦點,且其離地球最遠的 距離為 90000 公里,最近的距離為 10000 公里,則此橢圓軌道的正焦弦長為何?解答：60000
  109. 109在極坐標平面上,若 A(6 , 90) 、 B (4 , 210) 、 C (2 , 330) ,則 ABC 的面積為何?解答：11 3
  110. 110已知  (ak  b)  10 、  ( ak  b)  26 ,則 a  b 之值為何? k 1 k 4解答：1
  111. 111已知   2026 ,則   之值為何? cos(90   ) cot(90   ) csc(270   )解答：1
  112. 112如圖(二)所示,爸爸跟媽媽一起牽著寶貝,已知將寶貝舉起且達平衡狀 態時,媽媽施力為 6 公斤重,若寶貝體重為 14 公斤,則爸爸施力為多 少公斤重?解答：10
  113. 113已知 0  x  2 ,若 cos x  2 sin 2 x ,則滿足條件的 x 值共有多少個?解答：2
  114. 114桌上型益智遊戲目前風靡全球,大多是由卡片、圖板、骰子等道具組成的遊戲,簡稱桌遊。今 有一款卡牌收集的桌遊,玩法如下:玩家手上有 8 張卡牌,如果湊成 2 組 3 張相同( AAA )或連 號( ABC )再加上 1 雙對子( AA )即獲勝。如:(1 , 2 , 3)  (2 , 3 , 4)  (5 , 5)或(2 , 2 , 2)  (2 , 3 , 4)  (1 , 1)或(3 , 3 , 3)  (2 , 2 , 2)  (4 , 4)均獲勝。現在若玩家手上已有 7 張卡牌為 3 , 3 , 3 , 4 , 5 , 5 , 5,則從 1 到 9 號的 9 張卡牌中再抽 1 張卡牌即獲勝的情況有多少種?解答：5
  115. 115在坐標平面上,不等式組  所圍成的區域面積為何?  0  x  30 0  y  40解答：480
  116. 116英特爾創始人之一戈登‧摩爾(Gordon Moore)在 1965 年提出摩爾定律認為:同尺寸的晶片上之 積體電路可容納的電晶體數目每大約 24 個月增加 1 倍,從而使得晶片性能提升、成本下降。 今假設一開始積體電路上的電晶體數目為 1000 個,則 5 年後相同尺寸的晶片上之積體電路的 電晶體約為多少個?( 2  1.414 , 3  1.732 )解答：5656
  117. 117露營是一種休閒活動,通常露營的重點就是帳篷,帳篷形狀如 圖 (三 )所示,已知 ABCDE 為一邊長 6 公尺的正四角錐,且 F 、G 分別為正 ABE 、正 CDE 重心,今用 A 型輕鋼架 ( 圖中粗體線 條部分 )來加強帳篷的穩固,則 FG 的長為多少公尺?解答：4
  118. 118a1 、 a2 、 a3 、 a4 、 a5 均為相異實數,已知 a1 、 a2 、 a3 、 a4 、 a5 成等差數列, a1 、 a2 、 a4 成等 比數列,且 a1  a2  6 ,則 a2  a3  a5 之值為何?解答：24
  119. 119設矩陣  0 b 2 2  經過矩陣列運算後可化簡成  0 1 0 2  ,則 a  b  c 之值為何?      1 2 3 c   0 0 1 3 解答：5
  120. 120小淨給他心儀的對象寫一封數學情書,他寫道: 心卻是平面坐標上 ( x  5) 2  ( y  12) 2  4 的圓,雖然我倆之間仍有些距離,但是我的心會像同心 圓 x 2  y 2  f , f  1 擴散出去,當 f  m 時,我的心會與你第一次接觸(外切),之後再慢慢地 擴大到當 f  n 時,我的心會在那一刻完全擄獲你的心(內切)。」則 m  n 之值為何?解答：121
  121. 121設 a 、 b 均為實數,若 lim  ,則 a  b 之值為何? x4 x 2  5 x  4 3解答：6
  122. 122在坐標平面上,函數 f ( x )   x 3 的圖形上有一點 P (1 , 1) ,則過 P 點與 f ( x ) 相切的直線方程式 為何?解答：3 x  y  2  0
  123. 123小樺為了培養運動習慣,決定到運動中心健身。已知打桌球一小時需付費 60 元,使用健身房 一小時需付費 40 元,且小樺每週最少運動 5 小時,最多運動 10 小時,又不希望總花費超過 480 元。若打桌球一小時可消耗熱量 350 大卡,健身一小時可消耗熱量 250 大卡,則小樺運動一週 後,最多可以消耗多少大卡的熱量?解答：3000
  124. 124小全在高 150 公尺的塔上向下俯視,發現有間便利商店且俯角為  ,視線往同一方向的遠處 60 公尺看到學校且俯角為 45° ,再往同一方向更遠處看,發現有座公園,其俯角為  ,且     90 ,則公園與學校的直線距離為多少公尺?解答：100
  125. 125在坐標平面上,若二次函數 f ( x )  a ( x  2) 2  a 2  18 圖形之最高點的坐標為 (2 , 7) ,則 a 之值 為何?解答：3 2
  126. 126在坐標平面上,若一圓 C :( x  h) 2  ( y  k ) 2  r 2 的圓心在第四象限且與兩坐標軸相切,又圓心 在直線 L:4 x  7 y  18  0 上,則 h  k  r 之值為何?解答：21
  127. 127小典與好友相約從學校出發旅遊,第一天住在位於學校往東 140 公里往南 265 公里的青年旅 館,第二天住在位於青年旅館往西 90 公里往北 145 公里的背包客行旅,則學校與背包客行旅 的距離為多少公里?解答：130
  128. 128已知五個正數 a , b , c , d , e 為一等差數列,若 a  b  12 , c  d  36 ,則 e 之值為何?解答：21
  129. 129求分式方程式 1  所有解的和為何? x3 3 x解答：1
  130. 130幸福高商為鼓勵就讀學生努力學習,特別訂定學期成績優異獎勵辦法,第一學期班級前 3 名的學 生能夠獲得獎學金 500 元,接下來每學期若能維持在班級前 3 名,則給予前一學期加倍的獎學金。 若小恩在高商三年中努力學習,成績一直維持在班級前 3 名,則小恩共可獲得多少獎學金?解答：31500 元
  131. 131已知直角坐標平面上有三點 A( 4 , 5) 、 B (2 , 2) 、 C ( 6 ,  4) ,則點 A 到直線 的距離為何?解答：4
  132. 132超快速百元剪髮店因物價上漲,近期調整價目表如下:剪髮 120 元洗髮 100 元剪髮  洗 髮 150 元。星期日營業結束後,統計當日來店剪髮共 65 人次,洗髮共 52 人次,若顧客消費總 金額 10060 元,則當日來店消費的人數共多少人?解答：75
  133. 133好健康農場在園區內裝設了傘形灑水系統,其灑水範圍可用圓方程式 x 2  y 2  6 x  2 y  6  0 來 表示,為了使灑水範圍能夠增大,若園區員工將灑水半徑調整為原來的 1.5 倍,則下列哪一個 坐標位置的植物不在灑水的範圍內?解答：(1 , 3)
  134. 134若多項式 f ( x )  5 可被 x  2 整除, f ( x )  3 可被 x  1 整除,則 f ( x ) 除以 x 2  3 x  2 之餘式為何?解答：8 x  11
  135. 135若一等差級數的首項為 11,公差為 3 ,前 n 項的和為 66 ,則此級數共有多少項?解答：11
  136. 136快樂公園入口處放置了一座小天使雕塑模型,模型安置於基座上,模型高度為 2 公尺。若小 典在地面上某一點,測得基座頂部的仰角為 45°,模型頂部的仰角為 60°,則基座的高度為多 少公尺?解答：2
  137. 137設 、 、 為平面上三向量,已知 、 為互相垂直的兩單位向量,若 ,且 ,則 與 的夾角為何?解答：30°
  138. 138有一隻小螞蟻在坐標平面上等速直線前進,已知由點 A(3 ,  9) 前進到點 B ( 4 , 5) 花費了 7 秒。 若前進方向及速度不變,由 B 點再走 3 秒即可到達 C 點,則 C 點坐標為何?解答：( 2 , 1)
  139. 139在坐標平面上,已知函數 y  2sin x  3 , 0  x  2 的圖形與直線 y  5 、 y  3 、 y  1 的交點個 數分別為 a 、 b 、 c ,則 a  b  c 之值為何?解答：6
  140. 140在坐標平面上滿足不等式組  的區域面積為何?  5 x  2 y  90  x  y  30解答：270
  141. 141在坐標平面上,若直線 L: x  ay  b  0 與圓 C :( x  2) 2  ( y  1) 2  4 相切,且直線 L 的斜率為 4 ,則下列何者可為 a  b 之值? 3解答：1
  142. 142設 m 為整數,已知 A(2 , 9) 、 B (3 ,  8) 為坐標平面上兩點,若直線 L: y  mx  7 與 AB 有交點, 則 m 值共有多少個?解答：5
  143. 143若一元二次方程式的兩根平方和為 30,兩根之積為 3,且兩根之和為負數,則此方程式為何?解答：x 2  8 x  3  0
  144. 144ABC 中,已知 AB  6 , BC  4 , ABC 面積為 6 3 平方單位,若 ABC 為鈍角,則 AC 之長 度為何?解答：2 13
  145. 145創意高商規劃辦理國中生手作課程體驗營,每位國中生僅能選擇一種課程進行體驗。已知課程 A 為巧克力慕斯蛋糕體驗,國中生 5 人一組,每組 1 份材料費為 350 元;課程 B 為草莓雪球餅乾 體驗,國中生 2 人一組,每組 1 份材料費為 150 元。若此次課程材料費上限為 9450 元,且所準 備的材料中,課程 B 比課程 A 至少多 13 份,則可參與體驗課程的國中生人數最多為多少人?解答：126
  146. 146樂樂國小校園旗桿高度為 8 公尺,小欣在旗桿的正東方 A 點處,測得旗桿頂端的仰角為 45°, 小典在旗桿的西 30°南 B 點處,測得旗桿頂端的仰角為 30°,則小欣和小典兩人相隔多少公尺?解答：8 7
  147. 147老師為了進行迎新趣味競賽活動,在教室地板上設計一坐標平面並 畫上一梯形 ABCD 的圖案,如圖(一)所示。已知 AB 平行 DC 且 AB 垂 直 BC , AB  5 單位, DC  8 單位,梯形面積為 39 平方單位,若 A 點坐標為 (2 , 9) ,則 AD 的直線方程式為何?解答：2 x  y  5  0 圖(一)
  148. 148小欣家中掛了一幅「天道酬勤」的字畫,如圖( 二 ) 所示,其區域 ABCD 為扇形 OBC 中的一部分,且 OAD 亦為扇形。若 的長度為 40 公分, 的長 度為 16 公分, AB 的長度為 36 公分,則此字畫的 面積為多少平方公分?解答：1008 【
  149. 149圖(一)為正六面體 ABCD  EFGH ,試問下列哪一線段與 BG 共平面?解答：DF
  150. 150設 a、b 均為實數,若對數函數 y  a  log b x 的圖形如圖(二)所示, 則下列何者正確?解答：a  0 且 0  b  1
  151. 151小英從 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 十個數字中,任取相異 3 數,若規定取出的 3 個數字 中的任意兩數皆不為連續整數,則小英有多少種取法?解答：72
  152. 152圖(三)是某年 7 月的月曆,其中黑色框所圍的 4 天,其 日期和為 56,則該年的 7 月 1 日是星期幾?解答：星期三
  153. 153某電信業者近日舉辦「傳貼圖,捐千萬」的慈善活動,其內容如下:「當您收到祝福貼圖時, 請將這則訊息傳給 2 位您的好友,本公司將同步捐出 1 元給慈善團體」。若每位民眾在收到祝 福貼圖後,傳出 2 則訊息給好友的最快時間為 1 分鐘,則在業者發出這則祝福貼圖給第 1 位民 眾開始,最快在幾分鐘後,便可達成捐款一千萬元的目標?( log 2  0.3010 )解答：24
  154. 154坐標平面上有一個三角形 ABC ,其中 D 、 E 為 AB 的三等分點,而 F 為 AC 的 中點,如圖(四)所示。若  (2 ,  6)、  (6 ,  3) 且  ( ,  ),則    之值為何?解答：1 1
  155. 155如圖(五),複數平面上 P ( Z ) 是單位圓上一點,則下列何者最有 可能為 (1  i )  Z 所表示的點?解答：A 點
  156. 156坐標平面上,若三角函數 y  sin x 的圖形為 1 ,且線型函數 y  的圖形為  2 ,則 1 與  2 有 2 多少個交點?解答：3
  157. 157已知 f ( x ) 為二次函數,且不等式 f ( x)  0 的解為 6  x  3 ,若不等式 f (3 x)  0 的解為 x   或 x   ,則    之值為何?解答：1
  158. 158如圖(六)所示,有一條運河深 40 公尺,其截面圖為一拋物 線。若最深處點 P 是拋物線的頂點,且當水深 16 公尺時, 水面寬 AB 為 64 公尺,則水深 25 公尺時,水面寬 CD 之長 為多少公尺?解答：72
  159. 159在 ABC 中,已知 AB  15 、 AC  8 ,而點 P 在 AB 上、點 Q 在 AC 上,且 APQ 的面積為 ABC 面積的一半,若 AP  x 、 AQ  y ,則 xy 之值為何?解答：48
  160. 160已知多項式 f ( x ) 除以 x 2  2 x  3 的餘式為 3 x  1 ,若多項式 xf ( x) 除以 x 2  x 的餘式為 ax  b ,則 3a  2b 之值為何?解答：6
  161. 161坐標平面上,有一圓 C :( x  2) 2  ( y  1) 2  9 ,則下列哪一條直線被圓 C 所截之弦最長?解答：4 x  3 y  1
  162. 162小英參加營隊,其隊徽是一個幾何形狀,如圖(七)所示,每一 個方格均是正方形,則 ACE 之角度為何?解答：135 圖(七)
  163. 163試求 之值為何? cos 510  i sin 210 1 3 1 3解答：  i
  164. 164已知甲、乙、丙、丁四種細菌呈指數成長,其增殖方式如下: 甲細菌每 2 分鐘,增殖為 2 倍 乙細菌每 3 分鐘,增殖為 3 倍 丙細菌每 5 分鐘,增殖為 5 倍 丁細菌每 6 分鐘,增殖為 6 倍 若將這 4 種細菌各 1 隻分別放在不同培養皿中,經過 1 小時後,哪一種細菌的數量最多?解答：甲
  165. 165在空間中 有 E1 : x  y  z  1 、 E2 : 3 x  2 y  z  1 兩平面和一 點 P (1 ,  2 , 3) ,若 有一 平面 x  ay  bz  c 通過 P 點且與平面 E1 、 E2 均互相垂直,則 a  b  c 之值為何?解答：1
  166. 166魔術方塊是一款風行全世界的玩具,經典的三階魔術方塊由每邊 3 個 小 正 方 體 組 成 , 如 圖 ( 八 ) 所 示 。 已 知 P 為 AD 上 一 點 且 DP: PA  1:2 、 Q 為 EF 上一點且 EQ:QF  1:2 、 R 為 CG 上一 點 且 GR: RC  1: 2 , 若 此 正 方 體 方 塊 的 邊 長 為 6 公 分 , 則 之值為何?解答：28
  167. 167根據研究報告,車速的快慢會影響到駕駛者的視角大小。當車速快的時候, 視角會變小,能觀測到的景物範圍也隨之變小,對於駕駛而言,這會影響 到即時反應的時間,進而對行車安全產生危害。已知小明行駛於高速公路 上,可觀測距離為 50 公尺,若行車速度為 80 公里/小時,其視角為 45°, 如圖(九)所示,則此時小明能觀測的視野寬度 PQ 為多少公尺? 圖(九)解答：50 2
  168. 168已知 x 、 y 均為實數且 x 2  y 2  26 ,若  ( x , y ) ,  (2 ,  3) ,則 之最大值為何?解答：26 3
  169. 169設 a 、 b 為實數,若 1 i 為方程式 x 3  ax  b  0 之一虛根,則 ab 之值為何?解答：2
  170. 170坐標平面上有 A(5 , 4) 、 B (1 , 6) 兩點及一直線 L: y  3  m( x  2) ,若線段 AB 與直線 L 不相交, 則下列何者可能是 m 之值?解答： 3
  171. 171幸福銀行為了鼓勵存款,推出了「零存整付」之專案,其利率為 2%,每年複利一次。若小英 參加了此專案,計劃每年年初都存入一筆固定金額,到第 5 年年底結算時,可以領回 10 萬元, 則他每年年初該存入大約多少元?(已知 (1.02)5  1.1041 , (1.02) 6  1.1262 )解答：18800 【
  172. 172在坐標平面上,若 a 、 b 為實數且 a  0 、 a  b  0 ,則點 P(ab , a  b) 在第幾象限?解答：第二象限
  173. 173在坐標平面上,已知小樺家的坐標為 A(3 ,  1) ,學校的坐標為 B(9 , 11),書局的坐標為 P( x , y ) 。 若 P 在 AB 上,且 AP  2 BP ,則 x  y 之值為何?解答：13
  174. 174在坐標平面上,已知直線 L 通過點 (5 , 3) ,若直線 L 上任一點的 x 坐標增加 1 單位, y 坐標增加 4 單位之後的點仍在直線 L 上,則直線 L 與 y 軸的交點坐標為何?解答：(0 , 23)
  175. 175在坐標平面上,有一塊三角形農地的頂點坐標分別為 A(6 ,  2) 、 B (2 , 4) 、 C (0 , 0) ,若地主打算 通過 A 點畫一直線 L:4 x  by  c  0 將此農地分割成大小相同的兩塊,則 b  c 之值為何?解答：7
  176. 176股票市場中,本益比常用來預測買進該公司股票後的回本時間(年),其公式為本益比  。 每股盈餘 若某上市公司股票估算本益比時,每股市價符合函數 f ( x)  x3  2 x 2  x  2 (元),其中 x 為該公司 該年度的總營收(單位為億元),而每股盈餘符合函數 g ( x)  x  1 (元)。若該公司今年度的總營收為 3 億元,則利用 f ( x ) 與 g ( x ) 估算其本益比之值為何?解答：22
  177. 177已知多項式 f ( x)  x 21  5 x  1 除以 x  2 ,得商式為 Q ( x ) ,餘式為 r ,則 Q (1)  r 之值為何?解答：7
  178. 178在坐標平面上,若  為第三象限角,則點 P (sin  , tan  ) 落在第幾象限?解答：第一象限
  179. 179如圖(一)所示,以原點為圓心的單位圓與 x 軸負向交於 A 點,若 標準位置角  的終邊與通過 A 點且垂直 x 軸的直線交於 B 點,則 AB 之值為何?解答： tan 
  180. 180小虎將高爾夫果嶺描繪在坐標平面上,沿著與向量 (2 ,  1) 相同的方向將球直線推桿進洞,若推 桿時球的位置在點 A(1 , 1) 且球的滾動距離為 4 5 ,則洞口位置的坐標為何?解答：(8 ,  3)
  181. 181在坐標平面上,若 P (a , b) 為圓 C : x 2  y 2  6 x  2 y  6  0 上一點,則 (a  1) 2  (b  2) 2 的最大 值為何?解答：5
  182. 182有關多項式 ( x  1)31 的展開式,下列敘述何者正確?解答：x18 項的係數為 C 18 31
  183. 183某停車場收費方式公告如下: 第 1 小時收費 50 元,第 2 小時起以每小時 40 元計費 (不足 1 小時以 1 小時計) 若阿德於上午 9 時 05 分開車進入並於同天下午 8 時 50 分駛離,則停車費總共為多少元?解答：450
  184. 184若等差數列 an 的首項為 50 ,公差為 40,前 10 項的和為 m ;等比數列 bn 的首項為 1,公比 為 2,前 10 項的和為 n ,則下列敘述何者正確?解答：n  m  a10  b10
  185. 185學校舉行減塑環保園遊會,小寶的班上販售熱狗及紅茶,熱狗一支售價 60 元,紅茶每杯售價 25 元,凡自備環保杯,每一杯再折扣 5 元。已知熱狗賣了 52 支且自備環保杯的數量為 50 杯。 若結算時總收入為 5620 元,則該班總共賣出多少杯紅茶(含自備環保杯購買)?解答：114
  186. 186設 b 、 c 為實數,若一元二次方程式 x 2  5 x  c  0 的兩根為連續整數,且一元二次方程式 x 2  bx  9  0 有兩相等正實根,則 b  c 之值為何?解答：4
  187. 187小香到玩具店購買玩偶和汽車,已知玩偶每個 10 元、汽車每個 20 元,預算上限為 200 元。 若玩偶數量不超過汽車數量的一半,且玩偶和汽車至少各買一個,則小香購買的總數最多為 多少個?解答：10
  188. 188在坐標平面上,滿足二元一次聯立不等式 x  0 , y  0 , x  2 y  6 , 7 x  2 y  14 , x  y  0 的 所有點 ( x , y ) 形成之區域形狀為何?解答：三角形
  189. 189許多人會將喝過的瓶裝水放置於隔天再飲用,殊不知細菌的繁殖速度驚人,水早就受到細菌汙 染了。已知某種細菌每 20 分鐘就會繁殖為原來的 2 倍,若原本細菌數為 20 個,則經過 5 小時 後,細菌數為多少個?解答：5  215
  190. 190已知聲音的分貝 y (dB)與強度 I (W/m 2 ) 的關係式為: y  10  log( ) ,其中 I 0  1012 (W/m 2 ) 。 I0 若每一顆喇叭發出的聲音為 68 dB,且聲音的強度可以疊加,則至少要同時使用多少顆喇叭才 能製作出超過 83 dB 的發聲器?( 2  1.414 、 5  2.236 、 10  3.162 )解答：32
  191. 191如圖(二)所示,有一圓形溜冰場,其虛線 AB 處為入口,入口寬度 為 4 公尺,若小香在圓上 P 點測得 APB  12 ,則圓形溜冰場的 半徑約為多少公尺?( sin12  0.2 )解答：10
  192. 192通天閣現為日本大阪的一個觀光塔,若小津在地面上的 A 點測得塔頂的仰角為 35 度,接著往塔 底的方向走 45 公尺到達 B 點後,再測得塔頂的仰角為 45 度,則通天閣的高度大約為多少公尺? ( tan 35  0.7 )解答：105
  193. 193某高中要選出 4 位學生代表學校參加國際交換學生計畫,經初審後有 7 位進入到最後決選,但 在決選的過程中,某位學生因故無法參加而申請放棄,則學校最終選出的 4 位學生名單可能有 多少種方式?解答：45
  194. 194如圖(三)所示,一塊梯形土地 ABCD ,已知 AB 與 BC 皆為 12 公尺、 AD 為 3 公尺,小玫想在此塊梯形土地上規劃一圓形區域飼養動物, 若此圓與梯形的三邊 AB 、 BC 、 CD 均相切,則圓的半徑為多少公 尺?解答：3 圖(三)
  195. 195某父親因意外住院五日,須由五位子女輪流看護,每人分配一天,由於大兒子在外地工作的緣 故,只能安排在最後兩日,則看護的輪值安排共有多少種方式?解答：512 【