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臺中市私立新民高中附設國中 114學年 第二學期 模擬考 數學

41 題，其中 41 題已有解答。

  1. 01小吳在馬路上騎著一台腳踏車,若坐標平面上每一單位長記為 1 公里,現他在坐標平面 A(1 , 2) 開始以每小時 10 公里的等速度沿向量 (3 ,  4) 的方向直線前進 2 小時,則此時小吳到達的位置 坐標為何?解答：(13 ,  14)
  2. 02試問 57°為多少弳?  19解答：弳 
  3. 03加拿大北部有一形狀接近「完美圓形」的巨大湖泊,當地稱作「水晶之眼」,相傳此湖泊由隕 石撞擊而成,被譽為世界第八奇觀。設此湖所在的平面經坐標化後,湖岸的圓可用概略以方程 式 x 2  y 2  1750 2 來描述,若想要在湖面上建一長橋,其所在直線方程式為 3 x  4 y  2450 ,則 橋長為何?解答：3690
  4. 04已知坐標平面上四條直線方程式 L1:2 x  3 y  4  0 、 L2 : y  3x  4 、 L3 :x  3  2( y  1) 、 x y L4 :   1 的斜率分別為 m1 、 m2 、 m3 、 m4 ,則 m1 、 m2 、 m3 、 m4 的大小關係為何? 2 3解答：m4  m1  m3  m2
  5. 05小安正在駕訓班練習開車,教練要他「右轉」 ,若他先將方向盤往順時針方向轉 1.5 圈,為了調 整方向,他又將方向盤往逆時針方向轉回 270°,則此時方向盤被轉動的有向角為多少度?解答：270
  6. 06試問多項式 f ( x)  2025 x114  11x11  10 x10  2 除以 x  1 的餘式為何?解答：2026
  7. 07已知鉛直線 x  1 分別與二次函數 y  ax 2 、 y  bx 2 、 y  cx 2 交 1 於 A(1 , 1) 、 B(1 , ) 、 C ( 1 ,  1) 三點,另有一水平線 y  d 通 2 過 C 點,如圖(二)所示,有關 a 、 b 、 c 、 d 的大小,下列敘述何 者正確?解答：a  b  c  d
  8. 08已知一個矩形的長為 2 x  3 公分,寬為 x  5 公分,在這個矩形中,挖去一個邊長為 x  a 公分的 正方形,其中 a 為常數,若剩下的面積可被 x  6 整除,則 a 之值可能為何?解答：3
  9. 09有位地主擁有一塊三角形土地,在土地的三頂點各設有木樁,現將土地建立在坐標平面上,三 個木樁位置分別為點 A(2 , 3)、B (8 ,  1)、C (4 , 7),若地主想要在 BC 邊上的 D 點打一個新木樁, 並從 A 點拉繩索至 D 點來平分這塊三角形土地給他的兩個孩子,則 AD 的長度為何?解答：4
  10. 10若多項式 f ( x ) 除以 x  1 的餘式為 3;除以 x  2 的餘式為 5,則 f ( x ) 除以 ( x  1)( x  2) 的餘式為何? 2 11解答：x  3 3 2 7
  11. 11以時鐘鐘面中心點建立方位:鐘面上 3 的方向為正東方、鐘面上 9 的方向為正西方、鐘面上 6 的方向為正南方、鐘面上 12 的方向為正北方。當鐘面時間停在 10 點 35 分時,分針的方位為何?解答：西 60°南
  12. 12小劉解方程式「 3sin 2 x  14sin x  8  0 ,得 sin x  a 」 ;小德解方程式「 2sin 2 x  11cos x  7  0 , 得 cos x  b 」;小華解方程式「 6 tan 2 x  7 tan x  5  0 ,得 tan x  c 」,則下列敘述何者正確? 2 1解答：c  或 
  13. 13已知平面上兩向量  ( 1 , 3) ,  (2 ,  2) ,若 ,則向量 ?解答：(3 ,  1)
  14. 14小宇在正方形的四個邊各寫一個正整數,並在每個頂點寫上其相鄰兩個邊的乘積。若所有頂點 的數之和為 21,則正方形四個邊上的數之和為何?解答：10
  15. 15多項式 f ( x)  (3 x 2  x  1)( x3  2 x 2  3 x  5) 展開後各項係數和為何?解答：15
  16. 16古希臘羅馬神話中,有一位愛神邱比特,背上一對翅膀,手拿一副 弓箭,祂的箭象徵著愛的神力,一旦被射中便會陷入愛河。如圖(三) 所示,在坐標平面上,邱比特想要射中坐標為 (5 ,  7) 的紅心,將「弓」 的兩端分別置於 A( 12 , 4) 、 B ( 2 , 12) 兩點,拉著弦扣著箭,使箭 與 AB 垂直且發射後沿著直線 L 前進,即可射中目標紅心,若直線 L 的方程式為 x  ay  b  0 ,則下列何者正確?解答：a 2  b 2  1
  17. 17暑假期間,小文設計了一款數學電玩遊 戲,遊戲角色「兔兔」利用腳底端的感應 器「」所經過之路徑來收集此路徑通過 的胡蘿蔔。在坐標平面上,假設跳臺上有 3 一隻兔兔腳底端感應器的坐標為 (0 , ) , 2 小文設計了四個胡蘿蔔感應器「」點坐 標如圖(四)所示,兔兔跳躍的路徑呈二次 圖(四) 函數圖形。若兔兔跳躍後,腳底端感應器 的最高點坐標為(1 , 2),則兔兔能收集到哪一個感應器坐標上的胡蘿蔔? 3 3解答：( , ) 2 8 7 1
  18. 18臺中市大坑登山步道簡易導覽圖,如 圖(五)所示。若經測量得知,頭嵙山與 怡樂亭的直線距離為 600 公尺,怡樂 亭與逍遙亭的直線距離為 150 3 公 尺,怡樂亭與逍遙亭、頭嵙山之間的 夾角為 150°,則頭嵙山與逍遙亭的直 線距離為多少公尺?解答：150 31
  19. 19若  、  為方程式 x 2  4 x  2  0 的兩個實根,則  2  4   12 之值為何?解答：2
  20. 20已知 HOW FUN 遊樂園的門票定價每張 350 元,團體票 30 張(含)以上整團享有八折優惠;50 張(含)以上整團享有七折優惠。若有一旅遊團人數不超過 50 人,則人數至少是幾人時,購買 50 張團體票反而比較便宜?解答：44
  21. 21在平面上,點 P(sin 2025 cos114 , csc114 tan 2025) 在第幾象限?解答：第一象限
  22. 22在平面上一拋物線如圖(一)所示,請問可能是下列哪一個函數圖 形?解答：y  x 2  x  1 4x2 1 A Bx  C
  23. 23已知 x  1 為 f ( x)  x 3  kx  2 的因式,則下列何者也是 f ( x) 的因式?解答：x  1
  24. 24已知多項式 f ( x ) 除以 2 x  4 的商式為 x 2  x  1 ,餘式為 R ,則下列何者正確?解答：f ( x ) 除以 x  2 的餘式為 2 R
  25. 25平面上,四條直線方程式分別為 y  ax  1、 y  bx  5、 y  cx  2、 y  dx  3 , 其圖形如圖(二)所示,試求 a 、 b 、 c 、 d 之值何者最大?解答：d
  26. 26若 f ( x ) 為一次函數,且 f (2025)  f (2024)  2 ,則 f (113)  f (115) 之值為何?解答：4
  27. 27將一條東西向的道路數線化,已知在此道路上有電動三輪車租借站與休息站,分別位於 3 與 6 的位置。遊客租借電動三輪車騎乘時,偶爾發生電力不足無法移動而需要道路救援。由於成本 考量,若「救援位置與租借站距離」不大於「租借站與休息站距離」的 2 倍,才能免費道路救 援,請問可以支援免費道路救援的路徑長為何?解答：9
  28. 28若 f ( x  1)  x3  x  4 ,則 f ( x ) 除以 x  1 的餘式為何?解答：3
  29. 29已知等比級數 Sn  1  2  4  8    2n 1 ,則滿足 S n  2025 之最小整數 n 為何?解答：11
  30. 30某羽球比賽共 64 位選手參賽,採單淘汰制,每輪淘汰一半選手,最後一位即為冠軍。在第一 輪淘汰的選手每人可得 5000 元,在第二輪淘汰的選手每人可得 10000 元,以此類推,在第 k 輪 淘汰的選手每人可得 5000k 元,而冠軍只有一人,可得 100 萬元,試問主辦單位需準備的比賽 獎金全部為多少元?解答：157 萬
  31. 31如圖(三)所示, ABC 是邊長為 4 的正三角形,以各邊長為直徑且各邊中點為 圓心畫圓,斜線部分為勒洛三角形又稱曲邊三角形,在實用工具、建築、藝 術和科學展示等領域都有著廣泛的應用,啟發了轉子引擎的設計與幫助提升 掃地機器人的清潔效率。請問圖(三)的勒洛三角形面積為何?解答：2 3   圖(三) 2
  32. 32已知  為第四象限角,且 sin 2   cos 2   ,則 sin  之值為何? 4 10解答：4 5
  33. 33直角 ABC 中, C  90 ,如圖(四)所示。若 AB  13 , AC  5 , A 之角 平分線交 BC 於 D 點,且 DAB   ,則 tan  之值為何? 2解答：5 5
  34. 34已知 i  1 ,且 a 為複數,若 3  i 為方程式 x 2  ax  5  5i  0 之一根,則 a 之值為何?解答：1  4i
  35. 35設三平面向量  (2 , 1) 、  (3 , 2) 、  (3 , p ) ,若( )( )  9 ,則所有滿足條件的 p 值總和為何?解答：3
  36. 36已知等比數列共 2n 項,若奇數項和為 182,偶數項和為 546,首項為 2,則此數列公比為何?解答：3
  37. 37已 知 平 面 上 四 個 點 A( , ) 、 B( , ) 、 C( , ) 、 D( , ) ,若 114 2025 114 2025 2025 114 114 2025 m  (m , n) ,則 之值為何? n解答：96
  38. 38在平面上,已知直線 L : 3 x  4 y  20  0 與圓 C : x 2  y 2  9 ,則圓上到直線之距離為整數的點 共有多少個?解答：7
  39. 39若  ( x , y ) ,且  2 ,則 3 x  4 y 的最大值為何?解答：5
  40. 40馬拉松(marathon)是一項考驗耐力的長跑運動,而全程馬拉松(簡稱全馬)的賽程距離為 42 公里 又 195 公尺。小淨要參加全馬比賽,想賽前訓練。他從 7 月 14 日星期一開始做 5 公里的訓練, 每天訓練一次,且下次訓練都會增加 800 公尺,每逢週六日休息,若小淨在賽前訓練時,最快 達到全馬距離的日期為 m 月 n 日,則 m  n 之值為何?解答：28
  41. 41有一工業區地圖經坐標化後如圖(五)所示。今政府預計在第一象限內興建 一工廠,並規劃此工廠與兩條河流(方程式為 x  0、3 x  4 y  48 )等距離, 此外與兩倉庫 A(6 , 1) 、 B (2 , 5) 也等距離,經過計算後發現工廠的坐標為 ( x , y ) ,則 x  y 之值為何? 20解答：3 25