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臺中市私立新民高中附設國中 114學年 第一學期 模擬考 數學

53 題，其中 53 題已有解答。

  1. 01設 f ( x)  ax  b 為線型函數,若 f (50)  77 且 f (30)  47 ,則 f (10) 之值為何?解答：13
  2. 02為了研究光線反射問題,小明將所觀測的實際狀況繪於坐標平面上研究。已知入射光通過 P ( 2 , 3) ,直射到原點 (0 , 0) 後以 y 軸為法線反射,若反射遵守反射定律,則反射光所在之直 線的斜率為何? 3解答：2 3
  3. 03若多項式 f ( x ) 除以 x 2  5 x  4 的餘式為 x  2 ;除以 x 2  5 x  6 的餘式為 3 x  4,則多項式 f ( x ) 除 以 x 2  6 x  8 的餘式為何?解答：2 x  14
  4. 04在坐標平面上,已知點 ( , a  b) 在第三象限,其中 a 、 b 皆為實數,則下列敘述何者錯誤?解答：點 ( a b , b  a ) 在第一象限 2 2
  5. 05在坐標平面上,點 O 為原點,若 P (12 , k ) 為標準位置角  終邊上一點,則下列敘述何者錯誤? 12解答：若 tan   ,則 OP  20 3
  6. 06滿足絕對值不等式| 2 x  3 |  4 的整數解共有多少個?解答：4
  7. 07坐標平面上,一直線 L1 ,其方程式為 3 x  2 y  5  0 。若直線 L2 與直線 L1 互相垂直,則下列何 者可能是直線 L2 之方程式?解答：4 x  6 y  2  0
  8. 08小毅的家族有一塊三角形觀光果園用地,小毅為了計算果園的面積,特別利用空拍機攝影,將 其位置繪於坐標平面上,若此果園的三頂點分別為 A(3 , 1)、 B ( 5 , 7)、C ( 1 ,  1),且經過計算, 直線 AB 的方程式為 3 x  4 y  13  0 ,則三角形果園在坐標平面上的面積之值為何?解答：20
  9. 09坐標平面上有四個二次函數的圖形,其方程式如下,則哪一個二次函數的圖形開口最大? 甲: y  3( x  1) 2  5 乙: y  2 x 2  10 x  1 1 丙: y   x 2  3 2 丁: y  ( x  1)( x  3)解答：丙
  10. 10已知二次函數 f ( x)  3 x 2  6 x  2 ,當 x  a 時, f ( x ) 有最大值 b ,則 a  b 之值為何?解答：6
  11. 11若二次函數 f ( x )  2 x 2  ax  b 的圖形,頂點坐標為 ( 2 , 3) ,則 a  b 之值為何?解答：3
  12. 12坐標平面上,若 A(3 , 2) 、 B (k , 2k  1) 、 C (5 , 8) 三點在同一條直線上,則 k 之值為何?解答：8
  13. 13坐標平面上,已知 P 點在第四象限, P 點到 x 軸之距離為 5,且 P 點到 y 軸距離為到 x 軸距離的 2 倍,若 P 點之坐標為 ( a , b) ,則 a  b 之值為何?解答：5
  14. 14坐標平面上有兩點 A(2 , 6) 、 B (3 , 4) ,則下列哪一條直線與 AB 沒有交點? 7解答：y   x
  15. 15如圖(一)所示,小英丟球的軌跡是一個二次函數 y   x 2  2 x  k 的 3 部份圖形,已知小英是在此二次函數的頂點 A( a , b) 將球丟出,且從 點 B (0 , 1) 進入袋中,則 a  b 之值為何?解答：7
  16. 16下列二次函數圖形中,何者與 x 軸的交點最多?解答：y  17( x  53) 2  2025
  17. 17若直線 L : ax  by  5  0 通過第二、三、四象限,則點 (ab , a  b) 在第幾象限?解答：二
  18. 18曾經有一段時間,畢業生會在校園的某處埋下「時光蛋」,蛋中會放值得紀念的物品,或者是 寫給未來自己的信。相約在 10 年後某天,一起回到學校挖出這些回憶。小萌怕大家忘了埋藏 地點,便在筆記上寫下相關線索: 「以校門口為原點,學務處坐標記為(200 , 100),圖書館坐標 為 ( 500 , 625) ,而時光蛋就在學務處與圖書館的連線上,以步行距離計算,此處距離學務處 280 步,距離圖書館 210 步。」若將每步之距離視為定值,而時光蛋之坐標為 ( p , q ) ,則 p  q 之值為何?解答：200
  19. 19根據英國研究指出,理想工作環境的分貝數介於 30 分貝至 70 分貝之間(含)。若其中一個參與 調查的工作場所之檢測結果為 x 分貝,且將上述分貝數用 | x  a |  b 來表示,則 ab 之值為何?解答：1000
  20. 20已知坐標平面上四點 A(7 , 2) 、 B(4 , 8) 、 C (9 , 4) 、 D( ,  ) 分別為平行四邊形 ABCD 的頂點 坐標,則    之值為何?解答：4
  21. 21某農場種植的草莓在市場上販售。已知草莓的種植成本為每公斤 50 元,其他固定成本為 2000 元。若草莓的單位售價為每公斤 x 元時,其銷售量為 (300  2 x) 公斤,則農場可得總利潤最多為 多少元?解答：15200
  22. 22某生態保護區管理單位利用無人機進行巡邏。在坐標平面上,若無人機從基地 O (0 , 0) 出發, 以固定高度並採直線飛行,計劃依序巡邏三個目標點 A (3 , 4)、 B (8 , 4)、 C (5 , 0)後返回基地, 則無人機總飛行距離為何?解答：20 2
  23. 23在一張比例尺為 1:10000 的地圖上,量得兩地 A 和 B 的坐標分別為(2 , 3)和(8 , 9)。若在地圖 上有一點 P 位於連接 A 和 B 的直線道路上,且從 A 到 P 的實際距離是從 P 到 B 的實際距離的兩 倍,則在地圖上點 P 的坐標為何?解答：(4 , 5)
  24. 24已知不等式 | 2 x  3 |  6 有 m 個整數解,而不等式 | x  3 |  5 的最小正整數解為 n ,則 m  n 之值 為何?解答：7
  25. 25某水庫在乾旱期間水位持續下降。管理員記錄了連續五天的水位高度,如表(一)所示: 表( 一) 日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 水位高度(公尺) 150.5 150.3 150.1 149.9 149.7 假設水位的下降速率是固定的,若將日期視為變數 x ,水位高度視為變數 y ,根據上表的數據 找出水位高度 y 與日期 x 的直線方程式,則此直線方程式的斜率為何?解答： 5
  26. 26在籃球比賽中,某次進攻戰術的跑位可以用直角坐標系描述。球員 A 原本位於點(1 , 2),接到 隊友傳球後沿直線移動到點(5 , 5),若球員 A 的移動路徑所在的直線方程式為 ax  4 y  c  0 , 則 c 之值為何?解答：11
  27. 27一家新創公司開發了一款創新手機保護殼。已知每個保護殼的成本為 50 元。根據市場調查, 他們發現這款保護殼的每週銷售量 Q ( 個 ) 與每個保護殼的售價 P ( 元 ) 之間存在以下關係: Q  0.5 P  200 ,其中售價 P 不得低於成本且不超過 400 元。公司希望每週的總收入至少能夠 達到 15000 元,以支付營運成本並確保公司獲利。依以上條件,若要滿足公司每週總收入的目 標,這款手機保護殼的售價 P 最低可設定為  元、最高可設定為  元,則    之值為何?解答：350
  28. 28若多項式 f ( x )  13 x 4  67 x3  23 x 2  161x  8 ,則 f (5) 之值為何?解答：28
  29. 29若多項式 f ( x)  x 20  320 ,則下列何者為 f ( x ) 的因式?解答：x  9
  30. 30若多項式 f ( x)  x 3  2 x 2  3 x  1 與 g ( x)  x 2  x  2 ,則 f ( x)  g ( x) 除以 g ( x)  1 的餘式為何?解答：7 x  1
  31. 31若方程式 (13  0.5)[132  13  0.5  0.25]  133   ,則  之值為何?解答：0.125
  32. 32多項式 ( x 3  3 x  8) 2 的展開式中, x 4 項的係數為何?解答：9
  33. 33下列哪一個方程式有兩個相等的實根?解答：3 x 2  12 x  4  0
  34. 34若二次方程式 x 2  kx  8  0 的一個根為 2 ,則另一個根為何?解答：4
  35. 35小瑛和阿得在一直線的跑道上賽跑,小瑛先跑 50 公尺後,阿得才開始起跑。若兩人賽跑的速 率均保持定值,小瑛的速率為每秒 4 公尺,阿得的速率為每秒 6 公尺,則阿得在起跑後多少公 尺處追上小瑛?解答：200
  36. 36阿得正在執行一個為期 4 週的健康飲食計畫。假設營養師建議他每天攝取的總卡路里 C (大卡) 須符合以下公式:C  1800  250(W0  W ) ,其中 W0 為健康飲食計畫開始時的體重(公斤),W 為 結束時計畫達成的體重。已知阿得開始時的體重為 80 公斤,且阿得希望結束時的體重可下降 2 公斤。阿得查閱資料得知,每公克蛋白質提供熱量約 4 大卡。若阿得每天攝取的總卡路里 1 恰好符合建議值,且蛋白質提供的熱量占總卡路里的 ,則下列敘述何者正確? 5解答：阿得每天應攝取的蛋白質克數為 130 公克
  37. 37某社區正在規劃一個長方形花圃,園藝師阿得最初設計的花圃長為 10 公尺,寬為 6 公尺。然 而社區居民反映希望花圃的面積能更大一些,因此阿得決定在原設計的長和寬都增加相同的長 度。若社區委員會要求新的花圃面積必須剛好達到 96 平方公尺,則此時新的花圃周長為多少 公尺?解答：36
  38. 38某飲料店舉辦促銷活動,購買相同品項的飲料第二杯可享半價優惠。已知買兩杯相同的珍珠奶 茶,總共須支付 90 元,若小瑛帶 100 元去飲料店只買一杯珍珠奶茶,則可找回多少元?解答：40
  39. 39在數學史中,祖沖之利用「密律」  3.14159292035 來得到圓周率  的近似值,且精確 113 到小數點後第 6 位,試利用此結果,比較 10 、 3.14 與  的大小關係為何?解答：  10  3.14
  40. 40化簡 (  ) 之值為何? 5 1 5 1 1解答：4 b
  41. 41已知坐標平面上 P (a  3 , 3)、Q(2 , a ) 兩點,若點 R (5 , 4) 在 PQ 的垂直平分線上,則 a 之值為何?解答：5
  42. 42小育從地圖上的點 A( p , q ) 開始沿直線道路等速前進,2 小時後經過位在 B ( 1 , 7) 的加油站,再 過 4 小時到達終點 C (3 , 5) ,則 p  q 之值為何?解答：6
  43. 43已知一無人機水平飛行至地面一干擾器正上方 100 公尺處時,頓時失去動力,以拋物線軌跡掉 落在離干擾器 10 公尺的地面上,則過程中無人機掉落至離地高 13 公尺時,距離干擾器多少公 尺?解答：20
  44. 44設 k 為整數,已知一元二次不等式 kx 2  6 x  k  0 無實數解,則 k 的最小值為何?解答：4
  45. 45化簡 (1  sin135  cot150)  (1  cos135  tan 240) 之值為何? 7解答：6  2 1
  46. 46設  為第三象限角,則 tan   cot  的最小值為何?解答：2 1
  47. 47已知 tan   2 ,則 2 之值為何? 2sin   cos  3解答：4 3
  48. 48若 y  a sin(bx  c)  d 的圖形,如圖(二)所示,且 a  0 、 b  0 、 0  c  2 ,則 a  b  c  d 之值 為何? 圖(二) 3解答：3 
  49. 49設 a  cos1 、 b  cos 2 、 c  cos 3 ,則 a 、 b 、 c 的大小關係為何?解答：a  c  b
  50. 50已知 f ( x )  2sin 2 x  4sin x ,則 f ( x ) 的最大值為何?解答：8
  51. 51已知 cot 2 x  csc x  0 ,則 csc x 之值為何? 1  5解答：2 1 5
  52. 52有一個三角柱形帳篷,如圖(四)所示,若 AB  4 公尺、 AC  2 公尺、 BC  3 公尺,則此帳篷的高 CG 為多少公尺? 3解答：15 4 3
  53. 53已知垂直地面上有一個正方形支架 ABCD 與正三角形支架 ABE ,如圖 ( 五 ) 所 示,其中 AB  6 公尺,若為了穩固結構需要在 CE 連接鋼索,則此鋼索為多少公 尺?解答：3 6  3 2