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新北市市立淡水商工 107學年 第一學期 數學

78 題，其中 78 題已有解答。

  1. 01∵ ABCD 為矩形且 AB // x 軸 7. BC 中點為 ( 2 2 2 , 12 1)  (0 , 0) 如下圖,可知 B(5 , 8) ,故 a  b  13 BC 邊的中線為過 (0 , 0) 、 A(5 , 10) 二點的直線 L 利用二點式得 y  0  105 00 ( x  0) , 2 x  y  0 分別以選項各點代入上式,得解答：2  4  7  1
  2. 02在坐標平面上,已知 ABCD 為一矩形,其中 A 點坐標 (1 , 8),B 點坐標 (a , b),C 點坐標 (5 ,  2) , 且矩形之 AB 邊平行 x 軸,則 a  b 之值為何?解答：13
  3. 03若 a 、 b 為實數, | a |  | b | 且 b  a ,則點 (a , b  a ) 落在第幾象限?解答：第三象限
  4. 04設坐標平面上兩點 A(3 ,  1) 、 B (3 , 5) ,已知 P (5 , k ) 為 AB 之垂直平分線上一點,則 k 之值為 何?解答：1
  5. 05在坐標平面上已知平行四邊形 ABCD 的四個頂點為 A(7 ,  3) 、 B (2 , 5) 、 C (10 , 2) 、 D ( x , y ) , 則x y ?解答：29
  6. 06如圖(一)所示,坐標平面中有四條直線 L1 、 L2 、 L3 與 L4 , 其斜率分別為 m1、m2、m3 與 m4,則下列斜率何者最小?解答：m2
  7. 07在坐標平面上一 ABC 中, A(5 , 10) 、 B (2 ,  1) 、 C (2 , 1) ,則下列哪一點在 BC 邊的中線上?解答：(2 , 5)
  8. 08已知直線 3 x  2 y  12 的斜率為 m , x 截距為 a , y 截距為 b ,則 6m  a  b 之值為何?解答：11
  9. 09下列三角函數值中,何者為正?解答：sec120°
  10. 10下列何者為 20°的同界角?解答：200°
  11. 11已知標準位置角   5 ,則  為第幾象限角?解答：第二象限角
  12. 12如圖(二),扇形 OPS 半徑為 6、圓心角 30°,則弦 PS 與弧 所圍成的 弓形區域面積為何?解答：6  18
  13. 13求 sin  cos  tan 之值為何? 6 3 4解答：2
  14. 14求 tan( 225)  cos 480  sin 930 之值為何?解答：1
  15. 15已知 sin   且 tan   1.2 ,則  為第幾象限角? 61解答：第四象限角
  16. 16若函數 y  sin 4 x 的週期為 a ,而函數 y  4sin x 的週期為 b ,則 2a  b 之值為何?解答：4
  17. 17設 0  x  2 ,若函數 f ( x)  sin 2 x  2 sin x  3 ,則 f ( x) 的最大值為何?解答：7
  18. 18下列哪一個點在 y  cos 2 x 的圖形上? 解答：( ,  1) 2 3
  19. 19已知 ABC 中, ACB  120 , AC  3 , BC  5 ,則 AB 之值為何?解答：8
  20. 20某生想知道升旗典禮中的旗桿有多高,於是他在距離旗桿 10 公尺處量得旗桿桿頂的仰角為 45°,請問旗桿的高度為多少公尺?解答：15 公尺
  21. 21已知 ABC 中, sin A:sin B:sin C  1: 3 :2 ,則 A 之值為何?解答：45°
  22. 22已知  為鈍角且 4 sin 2   8sin   3  0 ,則  之值為何?解答：150°
  23. 23在坐標平面上,若直線通過 (a , 3) 、 (2 , b) 兩個點,且斜率為 1,則 a  b 之值為何?解答：5
  24. 24在坐標平面上,若直線 L 通過 (3 , 0) 、 (1 , 4) 兩個點,則 L 的方程式為何? 1 3 1 3解答：y  2 x  6
  25. 25在坐標平面上,已知直線 L 的方程式為 4 x  3 y  c  0 ,若 c  0 ,且點 (3 ,  5) 到 L 的距離為 4, 則 c 之值為何?解答：23
  26. 26已知坐標平面上三個點 A(2 , 1) 、 B (6 , 3) 、 C (7 ,  3) ,若線段 AB 的中點為 D 點,則線段 CD 之 長度為何?解答：34
  27. 27在坐標平面上,已知直線 L 的方程式為 2 x  y  k ,若 L 不經過第四象限,且 L 與 x 軸及 y 軸所 圍成的區域面積為 9,則 k 之值為何?解答：6
  28. 28sin 60  cos( 150)  sec 300  ?解答：2
  29. 29設 a  sin136 、 b  cos 44 、 c  tan 225 ,則 a 、 b 、 c 的大小關係為下列何者?解答：a  b  c
  30. 30已知坐標平面上四個點 A(5 , 2) 、 B (a , 8) 、 C (3 ,  1) 、 D (6 , b) ,若向量 ,則 a  b 之 值為何?解答：5
  31. 31已知坐標平面上有一個 ABC ,若向量 、 ,則向量 ?解答：(2 ,  6)
  32. 32若向量 與 的夾角為 30°,且向量長度 5、  6 ,則向量 與 的內積之值為何?解答：15 3
  33. 33已知向量  (3 ,  1) 、  (2 , 4) 、  (5 , 2) ,則 之值為何?解答：3
  34. 34已知向量  (3 ,  1) 、  (k , 9) ,若 與 垂直,則 k 之值為何?解答：3
  35. 35已知 ABC 中, AB  6 、 AC  4 ,且 A  120 ,則 ABC 之面積為何?解答：6 3
  36. 36在平坦無坡度的地面上有一棟大樓,空拍機在地面上,測得大樓頂端的仰角為 30°,若空拍機 在原地垂直升空至離地面 300 公尺後,測得大樓頂端的俯角為 60°,則大樓的高度為多少公尺?解答：75 公尺  1
  37. 37若 ABC 中,已知 AB  6 、 AC  4 ,且 A  60 ,則 BC 之值為何?解答：2 7 3
  38. 38若 ABC 中,已知 BC  6 ,且 A  45 、 B  60 ,則 AC 之值為何?解答：3 6
  39. 39已 知 坐 標 平 面 上 二 個點 A(2 , 1) 、 B (6 , 4) , 若 點 C ( x , y ) 在 第 三 象 限 且 在 直 線 上,又 AB: AC  1:2 ,則 x  y 之值為何?解答：11
  40. 40若向量 與 的內積之值為 10 ,且向量長度  4、  5 ,則 之值為何?解答：61
  41. 41若直線 L:2 x  3 y  6  0 的斜率為 m 、 x 截距為 a 、 y 截距為 b ,則下列敘述何者正確? 3解答：直線 L 與兩坐標軸所圍的三角形面積為 3 1 1
  42. 42設 k 為實數,若點 P ( , ) 在第二象限,則 Q(k  1 , k  1) 在第幾象限? 2 k  1 2k  1解答：第三象限
  43. 43若二次函數 f ( x)  2 x 2  4 x  k 有最大值 3 ,求 k  ?解答：5
  44. 44設 O 為原點,已知 OA  4 且 的方向角為 150°,則 A 點坐標為何?解答：(2 3 ,  2)
  45. 45設 A(3 ,  2) 、 B 、 P(1 ,  4) 為坐標平面上三點,若 P 在 AB 上,且 AP  2 PB ,則 B 點的坐標為 何?解答：(5 , 0)
  46. 46ABC 中,已知 A:B:C  1:4:1 ,求 AB: BC :CA  ?解答：1:4:1
  47. 47在銳角 ABC 中,已知 sin A  , AC  9 , AB  6 ,求 BC  ? 3解答：9
  48. 48已知 ABC 中, A(1 , 1) 、 B (3 ,  3) 、 C (1 , 0) ,若 AD 為此三角形 BC 邊上的高,求 AD  ?解答：3
  49. 49已知 L1 :3 x  4 y  3  0 與 L2 :ax  3 y  k  0 為二相異直線,若 L1  L2 且 L2 與兩坐標軸所圍的三 角形面積為 6,則下列敘述何者正確?解答：k  6
  50. 50平行四邊形 ABCD 中,若 B (5 , 4)、 D(4 ,  8),且 :9 x  5 y  25  0、 :3 x  4 y  20  0 , 則 之斜率為何?解答：3
  51. 51某人在岸邊某定點觀測一漁船在其西北方 40 公里處,若漁船速度與行駛方向一定,經過 30 分 鐘後,某人又測得該船在其南 75°西 20 公里處,則該漁船的時速為多少公里?解答：40 3 公里
  52. 52ABC 中,已知 AB  5 、 CA  6 ,兩向量內積  15 ,求 A  ?解答：60°
  53. 53ABC 中,已知 AB  5 、 BC  8 、 CA  7 ,則下列選項何者正確?解答：ABC 的面積為 8 3
  54. 54如圖(二)所示,設 AC  8 、 BD  CD  5 、 AD  7 ,求 AB  ?解答：4 6
  55. 55已知坐標平面上 A(4 ,  2) 、 B (1 , 3) 、 C (2 ,  3) 三點,若 為 在 上的正射影,求 ?解答：(3 ,  4)
  56. 56已知函數 f ( x)  3sin x  4 cos x 、 g ( x)  5sin x cos x ,試問下列選項何者正確?解答：函數 f 的週期是 
  57. 57設  為銳角,若 sin  、cos  是實係數方程式 ax 2  7 x  c  0 的兩根,且 tan   cot   ,求 a  ? 12解答：5
  58. 58在坐標平面上,若直線 L 過點 (3 ,  2) 與 (2 , 1) ,則有關直線 L 之斜率的敘述,下列何者正確?解答：斜率不存在
  59. 59已知在坐標平面上,一直線 L 過點 A(1 , 2) ,且與直線 x  y  5 平行,則直線 L 的 y 截距為何?解答：3
  60. 60已知在坐標平面上兩點 A(1 , 1) 、 B (5 ,  2) ,若點 P 在 AB 上,且 AP: PB  2:1 ,則 P 點坐標 為何?解答：(3 ,  1)
  61. 61在坐標平面上,點 P (a  2 , b  5) 在第二象限,則點 Q( , ab) 在第幾象限? b2解答：第三象限
  62. 62柯南在辦案時,利用平面直角坐標在地圖上定位,發現歹徒的坐標 (a , b) 、小蘭的坐標 (6 , 6) 、 柯南的坐標 (4 , 2) 都在同一直線上,且歹徒也在 x 軸上,則柯南與歹徒的距離為何?解答：6
  63. 63滿足 x  0 , y  1 , 2 x  y  6 ,且其中 x 、 y 皆為整數之解有多少組?解答：10 組
  64. 64二次不等式 x 2  x   0 的解為何? 4 1解答：x 為任意實數
  65. 65若多項式 f ( x)  x 2018  a 除以 x  1 所得餘式為 107,則 a 值為何?解答：109
  66. 66已知 f ( x)  x 2  x  1 為 g ( x)  2 x3  x 2  x  a 的因式,則 a 之值為何?解答：1
  67. 67如圖(一)所示,若直線 x  y  2  0 與 2 x  y  5  0 將坐標平面 分成甲、乙、丙、丁四個區域,則下列哪一區域滿足聯立不等 x  y  2  0 式 ?  2 x  y  5  0解答：乙
  68. 68二次不等式 2 x 2  5 x  3  0 之整數解有多少個?解答：3 個
  69. 69下列何者為多項式 3 x3  8 x 2  3 x  2 之一次因式?解答：x  2
  70. 70設 f ( x)  a (2 x 3  4 x 2 )  b(3 x 2  6 x)  3 x 2  4 x  a 為 x 的一次多項式,則 a  b 之值為何?解答：1
  71. 71設 a 、 b 為實數,已知多項式 3 x  a 與 x  1 的乘積再加上 2 x  b 後可得 3 x 2  4 x  2 ,則 a  b 之值為何?解答：2
  72. 72若 (3 x 3  7 x 2  2 x)(3 x 2  kx  3) 的展開式中各項係數的和為 24,則 k 之值為何?解答：3
  73. 73如圖 ( 二 ) 所示,斜線區域為滿足  x  y  1 的可行解區 2 x  y  4  域,求目標函數 f ( x , y )  x  3 y  2 的最大值為何?解答：6
  74. 74方程式 ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)  24 的所有解之和為何?解答：1
  75. 75在坐標平面上,若二點 A(1 ,  2) 、 B(2 , k ) 在直線 x  y  5  0 的同側,則 k 可為下列何者?解答：2
  76. 76下列哪一個方程式沒有實數解?解答：x 2  5 x  9  0
  77. 77若方程式 x 2  2 x  2  0 之二根為 a 、b ,且 a  b,則下列何者正確?( 2  1.414 , 3  1.732 , 5  2.236 )解答：1  a  2
  78. 78若方程式 x 2  (k  3) x  (k  2)  0 之二根均為負根,則 k 之範圍為何?解答：5  k  2