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新北市市立淡水商工 103學年 第二學期 數學

77 題，其中 77 題已有解答。

  1. 01已知二次函數 y  f ( x) 的頂點坐標為 (1 , 5) ,且圖形經過 (4 ,  13) ,則 f (0)  ?解答：3
  2. 02在 ABC 中,已知 AB 、 BC 、 CA 中點分別為 D (3 , 2) 、 E (5 ,  4) 、 F (4 , 1) ,試求頂點 A 之坐 標為何? 1解答：(4 , 7) 3
  3. 03設直線 L 與另外二直線 L1 :2 x  y  10 、 L2 : x  2 y  10 分別交於點 P、Q,而 PQ 被原點平分, 則直線 L 之方程式為何?解答：3 x  y  0 4 
  4. 04如右圖所示, AD  DB 、 AC  BC ,若 BDC   且 sin   ,則 cot  ? 5 2 1解答：2
  5. 05設一直圓錐之底半徑為 3、高為 6 2 ,今有一螞蟻自底部之圓上一點 A ,在側面繞行一圈後回 到原處 A ,則螞蟻所走的最短路徑長為何?解答：9 3
  6. 06下列何者三角函數值最小?解答：sin510°
  7. 07若向量  (1 , 3) 、  (2 , 1) , t 為實數,求使 為最小,此時 t 值為何?解答：1
  8. 08ABC 中,若  2、  3 ,且 ABC 面積  ,求 ? 2解答：3 2
  9. 09設 x  3  8 ,試求 x 4  4 x3  6 x 2  20 x  5  ?解答：4
  10. 10方程式 x3  3 x 2  x  5  0 的相異有理根有多少個?解答：1
  11. 11已知 x 為實數,下列選項何者正確?解答：方程式 | x  2 |  | x  1|  1 無解
  12. 12已知 i  1 , a 、 b 為實數,設 a 2  6a  4i  5  bi ,則 a  b 之值可能為何?解答：3
  13. 13設  、  為 x 2  13 x  9  0 之二根,求 (    )2  ?解答：7
  14. 14求行列式 之值  ?  2 8解答：5 2
  15. 15試求行列式不等式 1 3 108  0 之解為何? 1 5 124解答：x  3 或 x  5
  16. 16三數的和是 54,第一數除以第二數,得到商為 2,餘數是 9,第二數除以第三數,得到商為 2, 餘數是 1,試問此三數中最大者為何?解答：35
  17. 17下列選項中何者不等式的解為 2  x  4 ?解答：x  1  3 x2
  18. 18設 x  2 ,則 x  1  的最小值為何? x2解答：7
  19. 19若函數 f ( x)  ax 2  bx  c 的圖形,如圖(一)所示,則○ 1 a、 b ○2 b 、○ 4  3 c 、○ 、○ 5 b 2  4 ac 、○ 6 a  b  c 、○ 7 a b c 2a 等 7 個數中,下列何組皆為負數?解答：○1 ○ 2 ○ 4
  20. 20如圖(二)所示,在標準位置角  的終邊上取異於原點的一點 P( x , y ) , 且 OP  1 ,則 ( x , y )  ?解答：(cos  , sin  )
  21. 21設 ABC 三頂點坐標為 A(3 , 1) 、 B(2 , 3) 、 C ( x ,  1) ,且 ABC 的面積為 6,則所有滿足條件的 x 值總和為何?解答：11
  22. 22設 x 、 y 為實數且滿足 x 2  y 2  4 ,則 3 x  4 y  1 的最大值為何?解答：10
  23. 23設 、 ,令 , t 為實數,則下列敘述何者錯誤?解答：的最小值為 10
  24. 24若 (a , b) 是對數函數 y  log 2 x 圖形上一點,則下列哪一個點也在圖形上?解答：(2a , b  1)
  25. 25下列何者可為方程式 4 2  33  2 x  2  1  0 的解?解答：1
  26. 26下列選項何者正確? 1 1 3解答：log 9 3  log10 log 4 6 log 9 6 9
  27. 27若級數   "   的和為 ,其中 k 與 99 互質,則 k 值為何? 3 5 5 7 7  9 95  97 97  99 99解答：13
  28. 28利用公式 12  22  32  "  n 2  ,求 112  122  "  202 之值為何? 6解答：2475
  29. 29設 an 為一等差數列,若 a3  100 、 a10  79 ,則該數列從第幾項開始為負數?解答：36
  30. 30設多項式 2 x 3  kx 2  4 x  10 除以 x  2 的餘式為 10 ,則 k 值為何?解答：3
  31. 31設多項式 f ( x)  2 x 3  ax 2  8 x  6 , g ( x)  x 2  bx  2 ,若 f ( x) 能被 g ( x) 整除,則下列關於 a 、b 之敘述何者正確?解答：a  2b  3
  32. 32設多項式 f ( x)  9 x 4  10 x 2  2 x  ( 3  2) ,則 f (5)  f (5) 之值為何?解答：0
  33. 33行列式 2 3 1  ? 3 2 1解答：6
  34. 34若  、  為實係數方程式 x 2  x  p  0 的兩根,且     3 ,則實數 p  ?解答：1
  35. 35若方程組  恰有一解,則 k 不可能為下列何數? 2 x  (k  1) y  1解答：4
  36. 36如圖(三)所示, ABCD 為圓內接四邊形,若 DBC  45 、 ABD  30 、 CD  4 2 ,則 AD  ?解答：6
  37. 37如圖(四)所示,已知 ABC  60 ,若 ABC 的角平分線交 AC 於 D 。 20 3 且知 AB  5 、 BD  ,則 BC  ? 9解答：3
  38. 38已知 P(2 , a) 、 Q(b , 7) 兩點均在直線 L : y  2x  9 上,則點 R(b  a , ab) 在第幾象限內?解答：第一象限
  39. 39已知 A(2 , 2) ,若 P 點在 x 軸正向上,且 AP  13 ,則點 P 的座標為何?解答：(0 , 2)
  40. 40已知 O 為原點,點 A(1 , 3) 、點 B( 4 ,  7) ,若點 P 在 AB 上,且 AP: PB  3:2 ,求直線 OP 的 ←→ 方程式為何?解答：4 x  3y  0
  41. 41已知直線 L 過點 (3 , 2) ,且與直線 y  2 x  5 垂直,求直線 L 的 x 截距為何?解答：11
  42. 42已知多項式 3 x 3  2 x 2  ax  b 除以 x 2  x  2 之餘式為 3 x  7 ,求 2a  b 之值為何?解答：5
  43. 43已知多項式 f ( x)  x 3  x 2  ax  6 有 x  2 的因式,則 a 之值為何?解答：5
  44. 44設一次方程式 a ( x  2)  12 的解為 6,則 a 之值為何?解答：6
  45. 45設二次方程式 ( x  6)(x  2)  33 的解為 a 、 b ,求 a  b 之值為何?解答：16
  46. 46設 5、 x 、 y 、17 為一等差數列,求 y  x 之值為何?解答：3
  47. 47設自 1 至 200 的整數中,7 的倍數之總和為 S ,求 S 之值為何?解答：2196
  48. 48設 2、 x 、 y 、54 為一等比數列,求 xy 之值為何?解答：27
  49. 49若一扇形面積為 25 ,弧長為 5 ,則此扇形的半徑為何?解答：5
  50. 50設  為標準位置角,且   25 弧度,則  為第幾象限角?解答：第二象限角
  51. 51設   525 ,則下列敘述何者正確?解答：sin   0
  52. 52已知 sin   ,且 cos   0 ,則下列敘述何者正確? 3  5 3  5 3解答：csc  
  53. 53已知 ABC 中, A  30 、 BC  8 ,求 ABC 的外接圓半徑為何?解答：16 3
  54. 54設 ABC 中, BC  8 、 AC  7 、 C  30 ,求 ABC 的面積為何?解答：14
  55. 55設 ABC 中, BC  8 、 AC  7 、 AB  5 ,則下列何者正確?解答：ABC 是直角三角形
  56. 56設 ABC 中, B  45 、 C  30 、 AB  12 ,求 AC 之長度為何?解答：12 3
  57. 57若方程式 kx 2  6 x  1  0 有兩相等實數解,則 k 之值為何?解答：2
  58. 58已知二次方程式 x 2  7 x  3  0 的解為 a 、 b ,求以 2ab 、 a  b 為兩根的二次方程式為何?解答：x 2  x  42  0 2  x  5 
  59. 59設 x 、 y 滿足不等式組  y  0 ,求 f ( x , y )  2 x  y  3 的最大值為何? x  y  8 解答：13
  60. 60設  為銳角,若 tan   5 ,求 ? sin   3  cos 解答：1
  61. 61已知 1  sin   1 ,求 3 sin   7 的最大值為何?解答：8
  62. 62已知坐標平面上,點 P (b , a  b) 在第四象限,則點 Q(ab , a 2  b 2 ) 在哪一個象限?解答：第一象限
  63. 63三角形 ABC 中,設 A(2 ,  1) 、 B(0 , 1) 、 C (4 , 3) ,求 BC 邊上的中線長為何?解答：34
  64. 64坐標平面上,已知點 A(3 , 2) 與點 B(8 ,  8) ,若 P 點在 AB 上,且 4 AB  5 AP ,則 P 點坐標為 何?解答：(7 ,  6)
  65. 65設 P 點為直線 L 上之動點,當 P 點沿水平方向向左移動 1 單位時,同時也會沿鉛直方向向上移 動 2 單位,且直線 L 的 y 截距為 1,求直線 L 的方程式為何?解答：2 x  y  2  0 4
  66. 66求 2 sin 225  2 cos  tan  cos180 之值為何? 6 3解答：2
  67. 67設 t  (sin   csc  )2  (cos   sec )2  tan 2   cot 2  ,則 t 之值為何?解答：3
  68. 68若 sin  、 cos  為二次方程式 25 x 2  kx  12  0 之兩根,則下列何者為 k 之值?解答：4
  69. 69已知  (2 ,  3) ,  (4 , t ) ,  (k ,  2) ,若 且 ,求 3t  k 之值為何?解答：4
  70. 70設  (4 , 3) ,  ( x , y ) ,若 與 方向相反,且  15 ,求 x  y 之值為何?解答：15
  71. 71設兩多項式 f ( x)  ax 3  2 x 2  x  m 及 g ( x)  bx 2  2 x  n ,若 f ( x)  g ( x) 為領導係數等於三之 二次多項式,且 f ( x)  g ( x) 之常數項為 11 ,求 a  b  mn 之值為何?解答：2
  72. 72多項式 x3  ax 2  bx  1 被 x 2  2 x  1 除,得餘式 9 x  6 ,求 a  b 之值為何?解答：7
  73. 73求 75  10  7 4  25  73  30  7 2  10  7  8 之值為何?解答：36
  74. 74設 x  ,y ,求 x 2  y 2 之值為何? 5 3 5 3解答：3
  75. 75求方程式 4 x 1  7  2 x  2  0 所有根之和為何?解答：2
  76. 76已知 log 2 ≒ 0.3010 , log 3 ≒ 0.4771 ,若 510 為 n 位數,且 ( ) n 在小數點後第 k 位開始出現不為 0 3 的數字,則 k  ?解答：4
  77. 77求 (log 2) 2  (log100 16)(log 5)  (log 5)2 之值為何?解答：1