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新北市市立淡水商工 103學年 第一學期 數學

69 題，其中 69 題已有解答。

  1. 01設 ab  0 且 bc  0 ,則直線 L :ax  by  c  0 的圖形不經過第幾象限?解答：第一象限
  2. 02若多項式 f ( x)  ( x5  2 x 20  5 x 2014  3)2015 ,則 f ( x ) 的展開式中,各項係數的總和為何?解答：1
  3. 03已知多項式 f ( x)  x 5  9 x 4  11x3  18 x 2  386 ,則 f (8) 之值為何?解答：401
  4. 04已知 k 為常數,若一次式 x  3 為多項式 f ( x)  x3  2 x 2  2kx  9k 的因式,則 k 之值為何?解答：6
  5. 05滿足方程式 (6  x) x  7 的所有實數解為何?解答：{1 ,  7 }
  6. 06設二次函數 f ( x )  ax 2  bx  c ,其中 a、b、c 為實數,若 a  0 、 b 2  4 ac  0 ,則下列敘述何者 正確?解答：c  0
  7. 07若二次方程式 (k  1) x 2  kx  1  0 有兩個相等實根,則 k  ?解答：1
  8. 08請判斷一元二次方程式 5 x 2  3 x  4  0 之兩根的性質為何?解答：有二個相等實根
  9. 09若    ,則 A  B  C 之值為何? x( x  1)( x  1) x  1 x x  1解答：9
  10. 10已知二元一次不等式的解,如右圖所示,則下列何者正確?解答：2 x  y  6
  11. 11若 a、b 為方程式 x 2  9 x  90  0 的兩根,且知 a  b ,則 a  b 之值為何?解答：9
  12. 12若 a、b 為方程式 x 2  5 x  2  0 的兩根,則 ( a 2  5a  3)(b 2  5b  8)  ?解答：10
  13. 13已知一元二次方程式 4 x 2  12 x  c  0 之二根相差 2,則 c  ?解答：10
  14. 14若坐標平面上點 P(k ,  2) 在直線 y  x  8 之右方,則 k 之最小整數為何?解答：9
  15. 15已知坐標平面上兩點 A(1 ,  12) 、 B (7 , 4) ,且 P 點在 AB 的延長線上,若 PA  3PB ,則 P 點坐 標為何?解答：(10 , 0)
  16. 16已知二次函數 f ( x)  2 x 2  bx  c 在 x  2 時有最大值 5,則 f (1) 之值為何?解答：5
  17. 17已知多項式 f ( x ) 除以 ( x  1) 的餘式為 2 、除以 ( x  3) 的餘式為 12,若 f ( x ) 除以 x 2  4 x  3 的 餘式為 ax  b ,則 a  b 之值為何?解答：21
  18. 18已知多項式 f ( x ) 與 x 2  1 除以 x  2 之餘式相同、又 f ( x ) 與 x 2014  1 除以 x  1 之餘式相同,若 f ( x)  ax 2  bx  1 ,則 3a  b 之值為何?解答：1
  19. 19戲劇台的偶像劇時段中,戲劇一「塌的神話」每次播放有 10 分鐘影片、1 分鐘廣告,計有觀眾 2000 人;戲劇二「來自月亮的她」每次播放有 20 分鐘影片、1 分鐘廣告,計有觀眾 3000 人。 現規定此兩戲劇在一週內廣告不超過 6 分鐘,而影片至少 80 分鐘,若戲劇台以觀眾人數最多 的方式播出,則觀眾最多有多少人?解答：16000 人
  20. 20若 2  3 、 2  3 為一元二次方程式 ax 2  2 x  c  0 的兩根,則 a  c  ?解答：2
  21. 21已知一直線 L 方程式為 10 x  ay  b  0 ,且垂直於直線 3 x  2 y  7  0 ,若直線 L 的二截距和為 8,則 a  b 之值為何?解答：33
  22. 22已知點 A(a , b) 在第四象限內,則點 B ( , a  b) ,在第幾象限內?解答：第二象限
  23. 23一平行四邊形之一組對角的頂點坐標為 (2 , 3) 、 (6 , 7) ,又平面上一定點 P (2 , 0) ,求過 P 點將 平行四邊形面積等分為二的直線方程式:解答：5 x  2 y  10  0
  24. 24已知 A(2 , 3) 、 B (4 ,  5) 兩點,求以 AB 為直徑的圓面積為何?解答：25
  25. 25設過 A(5 , 0) 、 B (0 , 7) 兩點的直線方程式為   1 ,求 a  b  ? a解答：2
  26. 26設二相異直線 L1 : x  ay  3  0 、 L2 :ax  4 y  6  0 ,若 L1 // L2 ,試求 a 之值?解答：2 3
  27. 27ABC 中, AB = , AC  1 , B  60 ,則 C  ? 3解答：30°
  28. 28求 sin 2 1  sin 2 2  sin 2 3  ""  sin 2 89  sin 2 90  ?解答：45.5
  29. 29已知 A(1 , 2) 、 B (3 , 4) 、 C (5 , 12) 三點,若 ,求 D 點坐標?解答：(1 , 14)
  30. 30如圖(二)所示,已知 AC 為直徑,若 , , 求 ?解答：4
  31. 31設  (2 , 3) ,  (3 , m) ,  (n , 9) ,若 且 ,則 m  n  ?解答：8
  32. 32已知 y  f ( x)  17  168 x ,下列敘述何者錯誤? f (128)  f (246)解答： 168 246  128
  33. 33下列各三角函數的值,何者值最小?解答：sin(719)
  34. 34如圖(四)所示,有半徑 10 公尺的圓形花園,打算建一座王字型的 步道, O 為圓心, CD 通過圓心,且 AB  EF ,求此步道總長最長 時為多少公尺?解答：20 5  20 公尺
  35. 35過點 (5 , 4) 且與二軸之截距其絕對值相等的直線方程式中,下列何者錯誤?解答：4 x  5 y  20
  36. 36已知 A(2 , 4) 、 B (4 , 6) 兩點,且 C 點在 x 軸上,若 ABC 為一等腰三角形,則 C 點坐標為?解答：(8 , 0)
  37. 37設 A(3 ,  5) 、 B (2 , 4) 、 C (4 , 4) 為坐標平面上三點,已知 P ( x , y ) ,使 PAB 面積  PBC 面積  PCA 面積,下列何者可能為 P 點的坐標?解答：(3 , 13)
  38. 38如圖(五)所示為一直圓錐,底圓直徑 BC  6 , AB  36 ,若一隻螞蟻 由 C 沿曲線繞錐面一周到 D ,則最短路徑長為何?解答：18
  39. 39設 A(1 , 8) 、 B (11 ,  4) ,若 C 點在線段 AB 上且 BC  5 2 ,則 C 點落在哪一象限內?解答：第三象限
  40. 40已知平面上一拋物線 y  f ( x)  ax 2  bx  c ,其圖形如右圖,則 下列選項中何者正確?解答：a  (a  b  c)  0
  41. 41已知二次函數 f ( x)   x 2  (k  2) x  1 之圖形與 x 軸不相交,若 k  Z ,則 k 值有多少種可能?解答：3 種
  42. 42下列有關直線的敘述,正確者有多少個? 1 直線 L :(2  k ) x  ( k  1) y  ( k  3)  0 必過 P (1 , 1) ,其中 k  R ○ 1 2 2 若直線 L 通過 P ( 2 , 1) 與 Q (1 , 3) ,則直線 L 之斜率為 ○ 2 2 3 ○ 直線 L3:2 x  3 y  6  0 之 x 截距為 3 3 4 直線 L :ax  by  3  0 必與 L :bx  ay  c  0 垂直,其中 a 、 b 、 c 均為非 0 之實數 ○ 4 5 5 直線 L :y   x  7 之斜率為  ○ 6解答：2 個
  43. 43已知直角座標平面三點 A(3 , 0) 、 B (10 ,  4) 、 C (2 , 1) ,求 A 到直線 的距離?解答：1
  44. 44已知平面上兩直線 L1:2 x  4 y  k 與 L2: x  2 y  4 , k  0 ,若 d ( L1 , L2 )  20 ,則 k  ?解答：8
  45. 45設 0  x  2 ,則 f ( x)  tan 2 x  sec x  1 的最小值為何? 1解答：1
  46. 46已知  為銳角,則    ? cot(180   ) sin( ) cos( ) csc(180   )解答：0
  47. 47已知四實數 a  sin 770 、 b  tan 260 、 c  cos(380) 與 d  sec(80) ,則此四數之大小關係 為:解答：d  b  c  a
  48. 48有關三角函數之敘述,下列何者錯誤?解答：y  cot x 之定義域為 {x | x  n ,n  Z ,x  R}
  49. 49已知平面五點 A( , ) 、 B ( ,  ) 、 C ( , ) 、 D( , ) 、 E ( , ) ,若 3 4 13 4 13 7 16 17 4 3  (m , n) ,求 m  n 之值。解答：1
  50. 50設 A(6 ,  10) 、 B (8 ,  6) 、 C (2 ,  4) 為座標平面上三點,若 在 之正射影為 ,求 ?解答：25:2
  51. 51已知平面上 A(1 , 2) 、 B (2 ,  1) 、 C (a , b) 三點共線,且 ,則 a  b  ?解答：4
  52. 52已知 與 為平面上的兩向量,其中 , ,且 ,求 與 之夾角  ?解答：45°
  53. 53設向量  (4 ,  3) ,向量 平行向量 ,且 ,則 ?解答：60
  54. 54ABC 中,若 A:B:C  1:2:3 ,求 AB: BC : AC  ?解答：1:2:3
  55. 55三角形已知三邊長 13、14、15,內切圓半徑 r ,外接圓半徑 R ,則: 65解答：R  65
  56. 56有一測量員發現:當他從 A 點測量時,山是在他的北邊偏東 30°且山的仰角為 45;若由 A 點 向東直行 400 公尺到 B 點測量時,則山在他的北邊偏西 30。試求山高是多少公尺?(若由低處 觀測點仰望高處的目標物時,則目標物和觀測點的連線與水平線的夾角稱為仰角)解答：400
  57. 57若 ABC 之重心為 G (4 , 4) ,且 B (3 , 2) 、 C (14 , 8) ,則 AG  ?解答：10
  58. 58若直線 L 通過 A(7 ,  17) 、 B (13 ,  8) 兩點,則下列哪一條直線與直線 L 垂直?解答：2 x  3 y  5  0
  59. 59如圖 ( 二 ) 所示為二次函數 f ( x)  ax 2  bx  c 的圖形,其中頂點坐標為 (1 , 3) ,且圖形通過原點,則 a  2b  ?解答：9
  60. 60已知平面上三點 A(3 , 4) 、 B (5 ,  2) 、 C ( x , y ) 共線,且 A  B  C (即 B 點在線段 AC 上) ,若 BC  5 ,則 x  y  ?解答：2
  61. 61已知   2014 ,將  的頂點置於原點上,始邊置於 x 軸的正向,則其終邊落在哪一個象限內?解答：第二象限
  62. 62下列哪一個三角函數值最大?解答：cos 225
  63. 63設 a  sec333 、 b  tan 222 、 c  cos111 ,則下列何者正確?解答：b  a  c
  64. 64ABC 中, A  45 、 C  75 、 BC  20 ,則 AC  ?解答：10 6
  65. 65在 ABC 中, tan A  ,且 BC  12 ,則 ABC 的外接圓半徑為何? 4 15解答：9
  66. 66一圓半徑為 6,則其圓內接正八邊形的面積為何?解答：72 2
  67. 67在 ABC 中,若 BC  2 、 AC  3  1 ,且 C  45 ,則 AB 長度為何?解答：2
  68. 68如圖(三)所示,四邊形 ABCD 、 CDEF 皆為正方形,則 tan   ? 5解答：3 7
  69. 69某人由 20 樓之窗口向外望,測得對面高樓頂端之仰角為 45° ,俯看樓底得俯角為  ,已知 4 cos   ,且兩棟大樓相距 100 公尺,則對面高樓之高度為多少公尺? 5解答：225 公尺